Тема 5_Приближение
Тема 5.ИЗГРАЖДАНЕ НА ЕМПИРИЧНИ МОДЕЛИ
ВЪЗ ОСНОВА НАПРИБЛИЖЕНИЕ НА ДАННИ
5.1. Постановка на проблема
Емпиричните моделисе формират според резултатите от експеримента (въз основа на данни от наблюдения). Моделираният обект се третира като"черна кутия". Само неговите входни и изходни сигнали са достъпни за измерване. Поставена е задачата - въз основа на обработката на резултатите от измерванията на входните и изходните сигнали на обекта да се идентифицират емпирични закономерности в получените данни и да се опишат математически с формален приближен аналитичен модел.
В инженерната практика и в научните изследвания често е необходимо да се реши следният проблем.
В резултат на поредица от измервания на стойностите на x и y бяха получени m двойки стойности на xi; yi (i = 1, 2, 3, …, m), които са представени в табличен вид. Помислете, че x е независимата променлива, а y е зависимата променлива. Изисква се да се установи функционална връзка между x и y, т.е. определяне на такъвприблизителен аналитичен формален модел, който най-добре би паснал на дадения набор от експериментални данни xi; yi (i = 1, 2, 3, …, m).
апроксимацияе апроксимация (приблизителна замяна) на оригиналната функция с друга функция, по-проста и лесна за изчисляване.
Решението на задачата за аналитично приближение на таблично дадена функция включва следните стъпки.
1.Избор на класа на апроксимиращата функция– емпиричен модел,,, който най-добре отразява връзката между експерименталните данни x и y.
2.Оценка (намиране на числени оценки) на параметриa0, a1, a2, …, an на апроксимиращата функция, като се вземе предвид фактът, че резултатите от измерването xi; yi се получават с известна грешка.
Приблизителен функционалензависимостта се наричаемпирична формулаилирегресионно уравнение. Графиката на апроксимиращата функция се наричарегресионна линия.
Дефиницията на аналитичен израз за описване на връзката на зависимата стойност y с независимите стойности (фактори)x1,x2, … ,xm се нарича задача нарегресионен анализ.
За да определим параметрите на емпиричния модел, използвамеметода на най-малките квадрати.
М
От гледна точка наметода на най-малките квадрати, най-доброто съответствие между регресионната линия и резултатите от измерването yi се постига, когато условието
.(5.1)
Необходимо условие за минимума на функцията S = S(a0, a1, a2, … , an) е равенството на нейните частни производни по отношение на всички променливи на нула. Следователно проблемът за намиране на параметрите a0, a1, a2, … , an на емпиричния модел се свежда до решаване на следната система от уравнения
. (5.2)
При решаване на задача с линейна регресия, когато експерименталните резултати се апроксимират с линейна функция от вида y = a x + b, системата от уравнения (5.2) приема формата
След подходящи замествания системата (5.3) се редуцира до следния вид
Решаваща система (5.4) намира желаните стойности на параметрите a и b на регресионния модел:
(5,5)
Можете да оцените степента на отклонение на връзката между xi и yi от линейната (или стегнатостта на линейната връзка), като използватекоефициента на корелация на двойки (коефициент на корелация на Пиърсън)
