ТЕОРИИ ЗА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА
Понятието естествено число и числото нула в количествената теория. Събиране и изваждане на цели неотрицателни числа. Умножение и деление на цели неотрицателни числа. Деление с остатък. Аксиоматична теория на естественото число. Аксиоми на Пеано. Метод на математическата индукция. Аксиоматична дефиниция на събиране и умножение на неотрицателни цели числа.
Литература: [1] с. 247-270, [2] стр. 132-135, [3] стр. 88-129, [4] стр. 53-63, [5] стр. 120-135, [6] стр.90-102, [7] стр. 95-134.
КОЛИЧЕСТВЕНИ И АКСИОМАТИЧНИ ТЕОРИИ
(Задачи от ниво 1)
1А. Сред наборите по-долу изберете тези, с които можете да дадете теоретично определение на числото 5:
а) много пръсти на човешка ръка;
б) набор от нечетни цифри;
в) множеството от страни на успоредника;
г) много венчелистчета в розоцветните.
1Б. Кои от следните твърдения са верни:
а) съществува сумата от всеки две неотрицателни цели числа;
б) има разлика на всеки две цели неотрицателни числа;
в) не е вярно, че има разлика на две неотрицателни цели числа.
2А. Сред наборите по-долу изберете тези, които могат да се използват за теоретично определение на числото 3:
а) много зимни месеци;
б) комплект светофари;
в) много дни от седмицата;
г) много етапи от развитието на зелевата пеперуда.
2B. Дадени двойки множества A и B. Кои от тях отговарят на определението за събиране на неотрицателни цели числа:
3А. Сред наборите по-долу изберете тези, които могат да се използват за теоретико-множествената дефиниция на числото 1:
а) множеството нули в записа на числото сто;
б) много обективи на камера;
в) наборъглови върхове;
г) много дни от седмицата.
3B. Дадени двойки множества A и B. Кои от тях отговарят на определението за събиране на неотрицателни цели числа:
b) A= B=P2B); в) това твърдение е вярно (вижте точка б).
КОЛИЧЕСТВЕНИ И АКСИОМАТИЧНИ ТЕОРИИ
(задачи II ниво)
1А. Дадени са множества A=, B=. Намерете AÈV. Намерете броя на елементите на обединението на множества A и B по два начина. Намерете: a) n (A), b) n (C), c) n (A) + n (C).
1Б. Въз основа на теорията на количествата обяснете защо 1 + 3 = 4.
2А. Дадени набори A=<>, u, Ú, Þ, Û> и B=. Намерете: a) B¢A, b) n(B¢A), c) n (A) и n (C). Вярно ли е, че n (B¢A) \u003d n (A) - n (B).
2B. Като използвате дефиницията на сумата от неотрицателни цели числа, обяснете защо 5 + 0 = 5.
3А. Нека A е множеството от месеци в годината. Назовете още три множества, които са еквивалентни на A. Кое естествено число е общо свойство на класа множества, които са еквивалентни на A.
3B. Използвайте теорията на количествата, за да обосновете защо 7 - 4 = 3.
4А. Дайте примери за множества, които са еквивалентни на: а) множеството пръсти на човешка ръка; б) множеството от медианите на триъгълника; в) множеството от отрицателни числа на интервала [3;5].
4B. Използвайте теорията на количествата, за да обосновете защо 5 - 2 = 3.
5А. Кои от следните твърдения са верни: а) за произволни цели неотрицателни числаa иc числотоab е цяло неотрицателно число; б) съществуват цели неотрицателни числаa иc, чието произведение е равно на 0; в) произведението на произволни две естествени числа е по-голямо от всяко от тях.
5 Б. Като използвате дефиницията на разликата между неотрицателни цели числа, обяснете защо: 7 - 7 = 0.
0А. Дайте примери за множества, които са еквивалентни на: а) множествотозвучи в думата "Брест"; б) много цветове на бялото българско знаме; в) множеството от делители на числото 1.
а) Наборът от звуци в думата "Брест" се състои от 5 елемента, което означава, че много пръсти на едната ръка ще бъдат еквивалентни на него; много букви в името "Света"; множеството от цифри на числото 12345; много лъчи на звезда.
б) Наборът от цветове на бялото българско знаме се състои от 3 елемента. Следователно, това ще бъде еквивалентно на: множеството от ъгли в триъгълник; много съгласни в думата "мляко"; набор от цифри от 538.
c) Наборът от делители на числото 1 съдържа 1 елемент, така че ще бъде еквивалентен на: набор от глави за един човек; много гласни звуци в думата "къща"; набор от цифри на число 5.
0Б. Въз основа на теорията на количествата обяснете защо 4 + 2 = 6.
Вземете 2 комплекта. A=, n(A)=4 и B=, n(B)=2, където AÇB=Ø.
Намерете обединението на тези множества: AÈB=, n (AÈB)=6. n (APB)= n(A)+n(B). 6=4+2. Така че 4+2=6.
КОЛИЧЕСТВЕНИ И АКСИОМАТИЧНИ ТЕОРИИ
(задачи III ниво)
1А. Обяснете на базата на количествената теория защо: а) 0 7; б) 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 =
2. Докажете с помощта на математическа индукция, че –1 + 3 – 5 + 7 – 9 +…+ (–1) n ・(2n – 1) = ( –1) n ・n
3. Докажете с помощта на метода на математическата индукция, че 1 2 – 2 2 + 3 2 – 4 2 +…+ (–1) n–1 ・n 2 = (–1) n –1
4. Докажете с помощта на метода на математическата индукция, че + +…+ =
5. Докажете с помощта на метода на математическата индукция, че
+ +…+ =