Урок Матрица
Основни въпроси на лекцията: общи дефиниции, свързани с понятието матрица; действия върху матрици; детерминанти от 2-ри и 3-ти ред; детерминанти от ред n, тяхното изчисляване; свойства на детерминантите; обратна матрица; матричен ранг.
Матрицата mxn е правоъгълна таблица с числа, съдържаща m реда и n колони. Числата, които съставляват една матрица, се наричат матрични елементи.
Матриците се обозначават с главни (главни) букви от латинската азбука, например A, B, C,…, а малките букви с двойно индексиране се използват за обозначаване на матрични елементи: aij , където i е номерът на реда, j е номерът на колоната:
, i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n
Матрицата се нарича квадрат от порядък n, ако броят на нейните редове е равен на броя на колоните и е равен на n.
Елементите на матрицата aij , чийто номер на колона е равен на номера на реда (i=j), се наричат диагонал и образуват главния диагонал на матрицата. За квадратна матрица главният диагонал се образува от елементите a11 , a22 , …, ann , а a1n , a2n-1 , …, an1 са елементите на допълнителния диагонал.
Видове матрици: матрица (вектор) - ред, матрица (вектор) - колона, диагонал, единична матрица.
Върху матриците, както и върху числата, могат да се извършват редица операции.
а) Умножение на матрица по число. Произведението на матрицата A с числото λ е матрицата B=λA, чиито елементи са bij =λaij за i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
По-специално, произведението на матрицата A и числото 0 е нулева матрица, т.е. 0•A=O.
б) Матрично събиране. Сумата от две матрици A и B с еднакъв размер mxn е матрицата C \u003d A + B, елементите на която
С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij), i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
(т.е. матриците се добавят елемент по елемент).
В конкретен случай A+0=A.
в) Матрично умножение. Умножението на матрица A по матрица B се определя, когато броят на колоните на първата матрица е равен на броя на редовете на втората. Тогава произведението на матриците е такава матрица, всеки елемент от която cij е равен на сумата от произведенията на елементите на i-тия ред на матрица A по съответните елементи на j-тата колона на матрица B:
Транспонирането на матрицата е преходът от матрица A към матрица A', при който редовете и колоните се обръщат, като се запазва редът. Твърди се, че матрицата A' е транспонирана по отношение на матрицата A:
,
В литературата има и други обозначения за транспонираната матрица, например A m .
степенуване. Цялата положителна степен A m (m> 1) на квадратна матрица A е произведението на m матрици, равни на A, т.е.
A m \u003d A * A * ... * A (m > 1)
Имайте предвид, че степенуването е дефинирано само за квадратни матрици.
По дефиниция A 0 \u003d E, A 1 \u003d A.
Следата trA на квадратна матрица A е сумата от нейните диагонални елементи:
Матрица A -1, обратна на квадратната матрица A, е такава матрица, че
A -1 *A=A* A -1 =E (E е матрицата на идентичността).
Необходимостта от въвеждане на детерминанта - число, което характеризира квадратната матрица A - е тясно свързана с решаването на системи от линейни уравнения. Детерминантата на матрица А се обозначава с det (A) или Δ.
Детерминантата на матрицата от първи ред A \u003d (a11) или детерминантата от първи ред е елементът a11: Δ \u003d A \u003d a11. Например нека A= (3), тогава Δ1 = A=3.
Детерминантата на матрицата от втори ред се изчислява по формулата:
Детерминантата на матрица от трети ред се изчислява с помощта на правилото на триъгълника или правилото на Sarrus:
Малкият Mij на елемента aij на матрица от n-ти ред е детерминантата на (n-1) матрицатаред, получен от матрица A чрез изтриване на i -тия ред и j -тата колона.
Алгебричното допълнение Aij на елемент aij от матрица от n-ти ред е неговият минор, взет със знака (-1) i+j :
тези. алгебричното допълнение съвпада с второстепенното, когато сумата от номерата на реда и колоната (i+j) е четно число, и се различава от второстепенното по знак, когато (i+j) е нечетно число.
Теорема на Лаплас. Детерминантата на квадратна матрица е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки ред (колона) и техните алгебрични допълнения:
Забележка. Детерминантата на триъгълна (и диагонална) матрица е равна на произведението на елементите на главния диагонал.
1. Ако някой ред (колона) на матрицата се състои само от нули, тогава неговият детерминант е 0.
2. Ако всички елементи от който и да е ред (колона) на матрицата се умножат по числото λ, то нейният детерминант ще бъде умножен по това число λ.
3. При транспониране на матрица нейната детерминанта не се променя: A'=A.
4. При размяна на два реда (колони) на една матрица нейният детерминант променя знака на противоположния.
5. Ако квадратна матрица съдържа два еднакви реда (колони), тогава детерминантата й е 0.
6. Ако елементите на два реда (колони) на една матрица са пропорционални, то детерминантата й е 0.
7. Сумата от продуктите на елементите на всеки ред (колона) на матрицата и алгебричните допълнения на елементите на друг ред (колона) на тази матрица е 0, т.е.
, за i¹j
8. Детерминантата на матрицата няма да се промени, ако елементите на който и да е ред (колона) на матрицата се добавят към елементите на друг ред (колона), предварително умножени по същото число.
9. Сумата от произведенията на произволни числа b1, b2, …, bn и алгебрични добавки на елементи от всеки ред (колона) е равна на детерминантатаматрица, получена от дадената чрез замяна на елементите на този ред (колона) с числа b1 , b2 , …, bn.
10. Детерминантата на произведението на две квадратни матрици е равна на произведението на техните детерминанти:
C \u003d A * B, където C \u003d A * B; A и B матрици от n-ти ред.
За решаването и изследването на редица математически и приложни проблеми концепцията за ранга на матрицата е важна.
Определение. Рангът на матрица A е най-високият порядък на ненулевите минори на тази матрица.
Рангът на матрицата A се обозначава с rang A или r(A).
Свойства на ранга на матрицата:
10. Рангът на матрицата Amxn не надвишава най-малката от нейните измерения, т.е. ранг A≤min (m; n);
20. r(A) = 0 тогава и само ако всички елементи на матрицата са равни на нула, т.е. А=0;
трийсет . За квадратна матрица от n-ти ред, r(A)= n тогава и само ако матрицата A е неизродена.
Ние наричаме следните матрични трансформации елементарни:
1) Отхвърляне на нулевия ред (колона).
2) Умножение на всички елементи от ред (колона) на матрица с ненулево число.
3) Промяна на реда на редовете (колоните) на матрицата.
4) Добавяне към всеки елемент от един ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона), умножени по произволно число.
5) Транспониране на матрица.
Теорема. Рангът на матрицата не се променя при елементарни матрични трансформации.