Урок по визуална геометрия на тема - Топологични опити
Цели на урока:
- организират дейността на учениците при възприемане, разбиране и запаметяване на нови понятия, обекти и свойства по дадена тема, а именно: топологично равни фигури, лента на Мьобиус;
- организират изследователски дейности на учениците за идентифициране на свойствата на топологичните обекти;
- да насърчава развитието на математическата реч на учениците, способността да формулират проблеми, да предлагат начини за тяхното решаване;
- разширяване на кръгозора на учениците;
- насърчаване на развитието на въображението, мисленето;
- насърчаване на развитието на способността за колективна работа, зачитане на мнението на другите;
- развиват познавателен интерес към предмета чрез използване на информационни технологии.
Оборудване: мултимедиен проектор, разноцветни ленти за експерименти, пластелин, модели на телени фигури, карти със задачи.
Форма на работа: групова.
Епиграф на урока: "Гледайки света, човек не може да не се изненада." (К. Прутков)
Аз. Организационен етап
1) Поздрав към учениците. Проверка на образователни пособия, листовки.
2) Поставяне на целта на урока.
- Момчета! Днес в урока ще разгледаме обекти, които се изучават от раздела на геометрията - топология. Ще проведем серия от изследвания и експерименти с тези обекти, ще разгледаме свойствата на тези обекти и може би някои от тях ще бъдат неочаквани за вас и може да ви изненадат. Смятам, че епиграфът към днешния урок е най-точният израз за бъдещата ни работа и в края на урока можете да ми разкажете за него.
II. Етап на усвояване на нови знания
ТОПОЛОГИЯ е раздел от геометрията, който изучава свойствата на фигури и тела, които не се променят, когатодеформации, (фигурите могат да се компресират и разтягат, огъват и изправят, но не могат да се режат и залепват).
- Фигурата, която се е получила след деформация, и оригиналната фигура се наричат топологично равни.
Учителят показва трансформацията на фигури, използвайки телени модели като пример.
Задача №1.
На екрана се показват няколко фигури. След обсъждане в групи разберете кой от тях ще бъде топологично равен.
(Обсъждане на отговорите на всяка група).
Можем да предположим, че топологията изучава фигури, направени от пластилин, тъй като. фигурите от този материал могат да бъдат разтегнати, компресирани, без празнини и залепване и да се получат топологично равни. Примери за топологично равни фигури в живота могат да бъдат топка и чиния, ядка и поничка, поничка и паста. (Учениците дават собствени примери)
Задача #2
- Момчета! Вземете пластилин в ръцете си. Да приемем, че главните букви на българската азбука са направени от пластелин. Опитайте се да намерите някои топологично подобни букви. НапримерA ––> аз ––> D (възможно е да се получи друга от една буква без прекъсвания и лепене). (Учениците демонстрират своите примери).
– Най-удивителният обект на топологията елентата на Мьобиус. Всеки от нас има представа за повърхността (повърхността на масата, повърхността на хартията и т.н.). Може ли да има нещо неочаквано в тази концепция? Оказва се, че може! Любопитни ли сте да знаете какви изненади могат да бъдат? Лентата на Мьобиус ще ни помогне с това.
Тест #1.
Нека направим малък експеримент. Пред вас има ленти бяла хартия. Залепете, моля, обикновен пръстен от тях. Сега вземете лента с оранжев цвят и я залепете по следния начин: подравнете точки A и D, точки B и C, за да направите това, направетезавъртете лентата 1 път.
– Получихте известния пръстен, нареченЛента на Мьобиус.
Един от учениците прави доклад за това как е открита лентата на Мьобиус.
- Момчета, бихте ли искали да знаете как лентата на Мьобиус се различава от обикновен пръстен и какви мистериозни свойства има?
Нека направим няколко експеримента.
Опит#2.
– Представете си, че трябва да рисуваме върху обикновен пръстен, без да преминаваме през ръба. Какво можем да получим? Нека се опитаме да направим това. (Учениците изпълняват задачата и показват, че едната страна на пръстена е останала небоядисана.) - Сега направете същото с лентата на Мьобиус. Какво получи? Направете заключение.
Учениците заключават: Простият пръстен има две страни, докато лентата на Мьобиус има една.
Ричард Курант каза: „Ако някой реши да оцвети само едната страна на лентата на Мьобиус, тогава е по-добре веднага да я пусне в кофа с боя“
Експеримент #3
- Момчета, представете си, че паяк седи от едната страна на обикновен пръстен, а муха от другата страна. Оставете ги да пълзят както искат, но не и да се катерят над ръба на ринга. Колко време отнема на паяк да настигне муха? (Децата изразяват предположенията си). – Ами ако ги поставим на лента на Мьобиус? (Децата изразяват предположенията си). - Нека начертаем пътя на паяк зад муха върху обикновен пръстен с пунктирана линия и да направим същото върху лентата на Мьобиус. Какво забелязахте? Обсъдете в групи и направете изводи от този опит.Учениците заключават: Лентата на Мьобиус е двустранна повърхност.
Експеримент #4
- Момчета, какво мислите, че ще се случи с един обикновен пръстен, ако се разреже по пунктираните линии, начертани в средата? (Различнипредположения). Нека опитаме това сега и да видим дали вашите предположения са верни. Залепете прост пръстен с бяла ивица с пунктирана линия върху него.
(Момчетата изрязаха обикновен пръстен и виждат, че също са получили обикновен пръстен, но два пъти по-дълъг от оригиналния).
- Какво мислите, какво може да се случи с лентата на Мьобиус, ако и тя се среже по линията? Извършете рязане, разгледайте получения пръстен и идентифицирайте неговите свойства.
(Учениците изрязват лист М. и отбелязват, че свойствата на пръстена са нарушени, тъй като са получили двустранна повърхност.)
Извод: при рязане се нарушават свойствата на М. листа
Експеримент #5
– Вземете оранжевата лента с пунктираната линия върху нея. Залепете пръстена на две завъртания. Разрежете този пръстен по пунктираната линия, разгледайте получените обекти в групи и направете заключение.
Заключение: В резултат на срязването получихме два пръстена, усукани веднъж, но които не са ленти на Мьобиус
Проба #6
Вземете оранжева лента, която разделете на три части и залепете от нея лента на Мьобиус. Нарежете лентата на три части по пунктираните линии. Разгледайте получените обекти, обсъдете в групи и направете заключение.
Заключение: в резултат на изрязване са получени два пръстена: единият от които е лента на Мьобиус, ширината му е три пъти по-малка от оригиналната, дължината остава същата; вторият пръстен е два пъти по-дълъг от оригиналния, усукан е два пъти и не е лента на Мьобиус.
- Момчета, въз основа на изследването, което току-що проведохте, нека направим общо заключение за лентата на Мьобиус.
Заключение: лентата на Мьобиус е едностранна повърхност и променя свойствата си при разрязване
ЛистМьобиус е използван от художници и скулптори, много рисунки са оставени от известния график М. Ешер. В учебника "Визуална геометрия" на стр. 70 можете да видите работата му. Среща се и в литературата със споменаването на лентата на Мьобиус.
Романтично описание на лентата на Мьобиус се намира в разказа на Е. Успенски „Червена ръка, черен лист, зелени пръсти“ „… Но най-вече Рахманин беше поразен от някакъв странен знак, или монограм, или поръчка за много, много точна работа. Никога преди не беше виждал нещо подобно. Този продукт приличаше или на стар герб на чуждо благородническо семейство, или на герб на застрахователна компания, продаваща научни инструменти, защото се основаваше на лентата на Мьобиус. Рахманин наистина хареса това нещо ... Някакъв смисъл ясно се появи в знака, бяха определени определени пропорции и връзки.
На входа на Музея на историята и технологиите във Вашингтон усукана на половин оборот стоманена лента бавно се върти на пиедестал. През 1923 г., изобретател. Лий де Форес предложи да се записва звук на филм без смяна на барабаните. Изобретени са касети за магнетофон, където лентата е усукана и свързана в пръстен, като същевременно става възможно да се записва и чете информация от двете страни, което увеличава капацитета на касетата. През 1969 г. съветският изобретател Губайдулин предлага безкрайна шлифовъчна лента под формата на лента на Мьобиус. Изобретателят Чесноков приложи лентов филтър на Мьобиус.
III.Фаза на дебрифинг
- Какво научихте по време на урока? – Какво ново научи? - Имаше ли изненадващи факти за вас в урока? - Справедливи ли са думите на К. Прутков, избрани за епиграф на урока?
- И в заключение на урока бих искал да кажа, че повече от 100 години лентата на Мьобиус се използва запоказване на трикове и различни забавления. Предлагам ви малък трик: завържете възел на кабела, без да пускате краищата му.
(Учениците се опитват да изпълнят задачата и да решат номера)