Условна вероятност - стр
Разгледайте следния проблем. Студентът, подготвяйки се за изпитите, е научил първите 25 билета от 30. Означаваме с A събитието, при което студентът отговаря на произволно взет билет. Ясно е, че Да предположим сега, че до момента на пристигането на студента за изпита вече са взети билети с номера 3, 7, 11, 12, 17, 21, 22, 26, 28, 30. Каква е вероятността в тази ситуация студентът да отговори на взетия билет?
Остават 20 билета, от които ученикът познава 18. Следователно вероятността да вземете „добър“ билет ще бъде 0,9. Ако означим с B събитието, състоящо се в това, че до момента на пристигането на студента за изпита са използвани билети с номера 3, 7, 11, 12, 17, 21, 22, 26, 28, 30, тогава вероятността от 0,9 ще бъде условната вероятност за събитие A, при условие че събитие B е настъпило. Условната вероятност се означава с P (A/B).
Обърнете внимание, че когато се изчислява условната вероятност, пространството на елементарните резултати се състои от елементарните резултати на събитието A .
Следващият пример ни дава възможност да напишем обща формула за изчисляване на условната вероятност.
Точка се избира на случаен принцип в региона.
Необходимо е да се определи условната вероятност P ( A / B ).
Тъй като събитието B се е случило, след това всички възможни позиции на точката се свеждат до множеството B. В този случай точка може да влезе в множеството A само ако се намира в защрихованата област. Следователно R ( A/B )= . Разделете числителя и знаменателя на тази дроб на площта ( ). Получаваме, предвид това
В тази връзка, условната вероятност за събитие A, при условие, че събитието B се е случило P ( A / B ) се определя като съотношението на P ( A B ) към P ( B ) при P ( B ) ¹ 0, т.е. P ( A / B ) \u003d
Пример 1.13. Хвърлят се 2 зара. Намерете условната вероятностфактът, че са паднали две петици, ако се знае, че сборът от изпуснатите точки се дели на 5.
Събитие B се предпочита от резултати (1, 4), (2, 3), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4). Следователно P ( B ) \u003d Тъй като, тогава A B = A и следователно P ( A B ) \u003d Следователно P ( A / B ) \u003d t
От формулата P ( A / B ) = получаваме формула за изчисляване на вероятността за продукт от събития, а именно
P (AB) \u003d P (B) P (A / B).
Събития A и B се наричат независими, ако P ( A / B ) = P ( A ). Ако P ( A ) ¹ 0 и P ( B ) ¹ 0, то в тази дефиниция събитията A и B са равни, т.е. от Р ( А/В ) = Р ( А ) следва Р ( А/В ) = Р ( В ) и обратно. Наистина, нека P ( A / B ) = P ( A ). Тогава
За независими събития вероятността за продукт се намира особено просто:
R (AB) = R (A) R (B).
Формулата за изчисляване на вероятността за продукт от 2 събития чрез индукция се обобщава за случая на n фактора:
P ( A 1 A 2. A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 / A 1 ) . P ( A n / A 1 A 2 . A n -1 ).
Даваме няколко примера за прилагането на тези формули.
Пример 1.14. Урната съдържа бели и черни топки. (a> 1, b> 0). На случаен принцип се теглят 2 топки. Каква е вероятността да са бели?
Нека въведем нотация за събития:
Изисква се да се намери вероятността на събитието AB.
Пример 1.15. Има n различни ключалки и n ключа към тях. Каква е вероятността, избирайки случаен ключ, човек да отвори всички ключалки от първия опит? (Ключът, използван за отваряне на вратата, не може да бъде изваден от ключалката).
Тъй като A \u003d A 1 A 2. И тогава n
Използвайки концепцията за условна вероятност, извеждаме формулата за общата вероятност. Нека H 1 , H 2 , . H n е пълна група от събития, A е произволно събитие, чиято вероятност трябва да се определи. Тогава важи следната формула:
¦Тъй като H 1 + H 2 + . + Н n = , тогава
A \u003d A \u003d A ( H 1 + H 2 +. + H n) \u003d AN 1 + AN 2 +. + An n,
освен това термините AH i и AH j за i ¹ j са несъвместими. Ето защо
Пример 1.16. Във фабрика първата машина произвежда 25%, втората 35%, а третата 40% от частите. Бракът в техните продукти е съответно 5%, 4%, 3%. Каква е вероятността произволно избрана част да е дефектна?
Означаваме с H i събитието, при което произволно избрана част е изработена на i -та машина ( i = 1, 2, 3). Събитията H 1 , H 2 , H 3 образуват пълна група, ако вземем предвид, че няма други машини във фабриката и само една машина прави всяка част. Нека P ( A ) е желаната вероятност. Съгласно (1) имаме:
R (A) \u003d R (H 1) R (A / H 1) + R (H 2) R (A / H 2) + R (H 3) R (A / H 3) \u003d
= 0,25×0,05 + 0,35×0,04 + 0,4×0,03 = 0,0345. T
Следващата формула, наречена формула на Байс, е в известен смисъл обратна на формула (1). Нека H 1 , H 2 , . Н n пълна група от събития. По-нататък H i се нарича i -та хипотеза. Въпросът е как ще се промени вероятността на хипотезата Р ( Н i ), ако стане известно, че събитието А е настъпило. С други думи, трябва да изчислите условните вероятности Р ( Н i / А ). Среща се:
P (AN i) = P (A)× P (N i / A) = P (N i) P (A / N i).
Ако изразим P ( A ) с формула (1), тогава получаваме търсената формула (2). u
Пример 1.17. В периода на епидемията произволно избран пациент е болен от грип с вероятност P. Някои симптоми R се срещат при пациенти с грип в % от случаите, а при пациенти с други заболявания в b % от случаите. Симптом R е открит при произволно избран пациент. Каква е вероятността този пациент да има грип?
Означаваме с А събитието, когато пациентът има симптом R. Необходимо е да се изчисли вероятността Р ( Н 1 / А ). Съгласно формула (2) имаме:
Да приемем, че някакъв експеримент се провежда при постоянни условия n пъти. В резултат на всеки експеримент може с вероятност Р , 0 P А. Каква е вероятността събитието да се появи точно m пъти, където m е цяло число?
Означаваме търсената вероятност Р n ( m ). Ще докажем, че е валидна следната формула на Бернули:
Означаваме с B m сложно събитие, състоящо се в това, че в n експеримента събитието A се е случило точно m пъти. Записът ще означава, че в първия експеримент събитие А се е случило, във втория и третия - не се е случило и т.н. Тъй като експериментите се провеждат при постоянни условия, тогава
Събитието B m може да бъде представено като сума от всички възможни събития от посочения тип, като във всеки термин буквата A без черта се среща точно m пъти. Членовете в тази сума са несъвместими и вероятността за всеки член е За да изчислите броя на членовете, имайте предвид, че има толкова много от тях, колкото има начини да изберете m места за буквата A без линия. Но m места от n за буквата А могат да бъдат избрани по начини. Следователно
Пример 1.18. Наблюденията показват, че средно всеки трети лебед не се връща в родните си северни райони след зимни скитания. Да приемем, че безопасният полет за всеки лебед е случайно събитие, независимо от другите лебеди. През есента орнитолозите успяха да регистрират всеки индивид в голям брой ята лебеди. Всяко такова стадо се състоеше само от седем лебеда. Приблизително каква част от тези ята ще се върнат в местата си за гнездене през пролетта в пълна сила?
Вероятността за смърт по пътя на всеки лебед P = 1/3. Използвайки формулата на Бернули, можем да изчислим вероятността нито един от седемте лебеда да не умре по пътя:
Това означава, че на всеки 100 ята лебеди среднооколо 20 ята ще се върнат в пълен състав, т.е. почти една пета. ¨
Задача 1.10. В тричленно жури двама членове независимо един от друг вземат правилното решение с вероятност P, а третият член хвърля монета, за да вземе решение. Окончателното решение се взема с мнозинство. Едночленно жури взема справедливо решение с вероятност P. Кое от тези журита е по-вероятно да вземе справедливо решение?
Задача 1.11. За да насърчи син, който напредва в тениса, баща му му обещава награда, ако спечели поне две поредни тенис игри срещу баща си и клубния шампион в една от схемите баща-шампион-баща или шампион-баща-шампион по избор на сина. Шампионът играе по-добре от баща си. Коя схема да избере синът ми?
Задача 1.12. Фигура 8 показва пътната карта. Туристите напускат точка А, като всеки път избират по-нататъшен път произволно на разклонението. Каква е вероятността те да кацнат в точка B?
Задача 1.13. QCD сортира устройствата, произведени от завода. Всяко устройство, независимо от другите, има дефекти с вероятност P. При проверка в отдела за контрол на качеството наличието на дефекти се открива с вероятност a; в допълнение, с вероятност b, работещо устройство може да се държи като дефектно по време на теста. Всички устройства, за които се установи, че са дефектни по време на тестването, се отхвърлят. Намерете вероятността неотхвърленото устройство да има дефекти и вероятността отхвърленото устройство да има дефекти.
Задача 1.14. В квадрат е вписан кръг. Вътре в квадрата произволно се избират 10 точки. Каква е вероятността 3 от тях да попаднат в кръга?
Задача 1.15. Има 3 урни. Едната съдържа 1 бяла и 1 черна топка, втората съдържа 2 бели и 1 черна, а третата съдържа 3 бели и 1 черна топка. В койторедът на урните е неизвестен. От първата урна беше изтеглена бяла топка, а от втората - черна. Каква е вероятността бяла топка да бъде изтеглена от третата урна?
ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ
Закон за разпределение на дискретна случайна величина
Случайна променлива е функция, дефинирана върху пространството от елементарни резултати и приемаща реални стойности. Случайните променливи ще бъдат обозначени с главни букви, а техните стойности - с малки букви от латинската азбука. Нека обозначим множеството от реални числа като R, а случайната променлива като X. Тогава
Случайната променлива трябва да отговаря на още едно условие. За всяко реално число x О R за събитието А x = се определя вероятността Р ( А x ). В крайна сметка, според дефиницията на вероятността, тя не трябва да бъде дефинирана за всяко събитие.
Пример 2.1. Нека пространството на елементарните резултати = < G, P> се състои от два еднакво възможни изхода. Ние дефинираме две случайни променливи X и Y върху него, както следва:
X ( Г ) = 1, X ( Р ) = 0, Y ( Г ) = 0, Y ( Р ) = 1. ¨
Случайна променлива се нарича дискретна, ако наборът от нейните стойности е краен или изброим, т.е. може да се представи като безкрайна последователност от числа x 1 , x 2 , . . Всяка стойност на дискретна случайна променлива приема с определена вероятност. Така че случайната променлива X, дефинирана в пример 2.1, приема две стойности 0 и 1 всяка с вероятност P = 0,5. Обърнете внимание, че случайната променлива Y приема същите стойности със същите вероятности, но въпреки това случайните променливи X и Y са различни.
Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е едно към едно съответствие между нейните стойности x i и вероятностите p i, с които се приемат тези стойности, където p i =P ( X = x i ).
Удобно е да зададете съответствието между стойностите и вероятностите на дискретна случайна променлива под формата на таблица: