Въведение в социално-икономическата статистика
11.7. Оператор за забавяне
по-малко от едно. В този случай е естествено да се използва двустранен тест (тъй като не знаем a priori дали дисперсията се увеличава или намалява). Това, разбира се, не е съвсем обичайно за критерии, базирани на F. За нивото θ могат да се приемат такива стойности като критични граници, че вероятността да се удари както лявата, така и дясната опашка е една и съща - θ 2 .
Нулевата хипотеза е, че дисперсията е равномерна. Ако коефициентът на дисперсия попада в една от двете опашки, тогава нулевата хипотеза се отхвърля.
Силата на теста може да се увеличи чрез изключване на някои от централните наблюдения. Този подход е оправдан в случай на монотонно поведение на дисперсията на времевия ред, тогава коефициентът на дисперсия ще покаже по-голямо разпространение на стойностите.
Ако времевият ред не е монотонен, например има форма, тогава мощността на теста намалява значително в резултат на изключването на централните наблюдения.
Както в случая на сравнение на средни стойности, критерият е приложим само в случай, когато тестваният процес е бял шум. Ако, например, серията е стационарна, но автокорелирана, тогава този критерий не трябва да се прилага.
11.7. Оператор за забавяне
Една от основните концепции, използвани при моделирането на времеви редове, е концепцията за изоставане. Буквално преведено от английски лаг е забавяне. Под забавяне на някаква променлива разбирайте нейната стойност в предишни периоди от време. Например, за променлива x t, забавянето в k периода е x t−k.
Когато работите с времеви редове, е удобно да използвате лаг оператора L, т.е. забавяне оператор, изместване назад във времето. Въпреки че често има известна загуба на математическа строгост при използването на този оператор, той се отплаща със значително опростяване.изчисления.
Ако към променлива се приложи оператор за забавяне, резултатът ще бъде забавянето на тази променлива:
Използването на оператора за изоставане L осигурява кратък запис на диференциални уравнения и помага за изучаване на свойствата на редица процеси.
Удобството на използването на оператора за забавяне е, че той може да се третира като обикновена променлива, т.е. операторите могат да се трансформират сами, независимо от времевия ред, към който се прилагат. Основен
Глава 11. Основни понятия в анализа на времеви редове
Разликата между лаг оператор и обикновена променлива е, че операторът трябва да е преди серията, към която се прилага, т.е. не можете да разменяте оператора за забавяне и времевия ред.
Що се отнася до обикновените променливи, има функции на оператора за забавяне, те от своя страна също са оператори. Най-простата функция е степенна функция.
По дефиниция за цели числа m
тези. L m , действащ върху x t , означава забавянето на тази променлива с m периода.
Продължавайки същата логика, може да се дефинира полином от оператор за забавяне или полином за забавяне:
α (L) = α i L t−k = α 0 + α 1 L + · · · + α m L m .
Ако приложим лаг полинома към променливата x t, тогава получаваме
α (L) x t = ( α 0 + α 1 L + · · · + α m L m ) x t = α 0 x t + α 1 x t− 1 + · · · + α m x t−m .
Лесно е да се провери, че лаг полиномите могат да се умножават като обикновените полиноми. Например,
( α 0 + α 1 L)( β 0 + β 1 L) = α 0 β 0 + ( α 1 β 0 + α 0 β 1 )L + α 1 β 1 L 2 .
Когато m → ∞, получаваме безкраен степенен ред от оператора за забавяне:
α i L i x t = ( α 0 + α 1 L + α 2 L 2 + ) x t =
= α 0 x t + α 1 x t− 1 + α 2 x t− 2 + · · · = α i x t−i .
Полезно е да запомните следните свойства на лаг операторите:
1) Закъснението на константа е константа: L C = C .
2) Дистрибутивност: (L i + L j ) x t = L i x t + L j x t = x t−i + x t−j .
3) Асоциативност: L i L j x t = L i (L j x t ) = L i x t−j = x t−i−j . Обърнете внимание, че: L 0 x t = x t , т.е. L 0 \u003d I.
11.8. Модели на регресия с разпределен лаг
4) L повдигнат на отрицателна степен е водещ оператор:
L −i x t = x t + i.
5) За α 1, безкрайната сума
(1 + α L + α 2 L 2 + α 3 L 3 + . . . ) x t = (1 − α L) − 1 x t .
За да докажем това, умножаваме двете страни на уравнението по (1 − α L):
(1 − α L)(1 + α L + α 2 L 2 + α 3 L 3 + . . . ) x t = x t , защото за α 1 изразът α n L n x t → 0 при n → ∞ .
В допълнение към оператора на забавяне в теорията на времевите редове широко се използва операторът на разликата ∆, който се дефинира по следния начин:
така че ∆ x t = (1 − L) x t = x t − x t− 1 .
Операторът за разлика превръща оригиналната поредица в поредица от първи разлики.
Поредица от разлики (разлики в ред) се получава като степен на разлика
ny оператор, тоест прилагане на оператора за разлика d пъти.