∀ x, y, z

Начало ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Книги ≫ 11. Ординали и кардинали / Парадокси на теорията на множествата // Иван Ященко

Иван Ященко

Коментари: 0

11. Ординали и кардинали Теорема за приложение.От две отделни добре подредени групи, едната е левият лъч на другата. Тази формулировка трябва да бъде пояснена. Когато някои обекти се разглеждат в математическите разсъждения, те веднага уреждат кой от тях трябва да се счита за равен, еквивалентен. Например, когато се изучават групи, те се разглеждат с точност до изоморфизъм *18 . Така че тук разглеждаме добре подредени набори доизоморфизъм, т.е. до картографиране, запазващо реда ( ). Следователно теоремата означава следното. Ако има две добре подредени множества и , и ние "прикрепим" едното от тях към другото, тогава или те ще съвпаднат, или едното от тях ще бъде левият лъч на другото.

*18 За нас няма значение кога има два елемента в групата, това са 0 и 1 или слон и жираф. Ако таблицата за умножение на слон и жираф е една и съща като нула за едно, добре.

Доказателствое очевидно чрез трансфинитна индукция. Въвеждаме трансфинитна индукция на първото множество. Нека изпратим най-малкия елемент към най-малкия елемент. След това нека всички от , по-малко от някои , вече са изпратени до елементите на . Ако все още има елементи без прообрази, избираме най-малкия сред тях и изпращаме към него, ако няма повече елементи без прообрази, тогава - левия лъч. В противен случай чакаме да свърши.

Дефиниция.Нека наречемпорядъкнапълно подреден набор. (Отново всъщност ниение наричаме ординал не набор, а клас на еквивалентност на напълно подредени множества по отношение на връзката "изоморфен".) Отношение на реда може да бъде въведено между ординалите, използвайки теоремата за приложение, т.е. ако е ляв лъч (обаче всички ординали не образуват множество, в противен случай би имало множество от всички множества).

Нека да разгледаме броенето на ординалите.

Първият ред е . След това идва *19 . Следващият ред е , след това и т.н. Следва редът на "естествените числа", който се обозначава с . Ако поставим най-голямото число след всички естествени числа (получаваме конвергентна редица), тогава ще бъде и така нататък до (или), т.е. до две конвергентни редица една след друга. По-нататък и т.н. до . Този порядък може да си представим по следния начин: вземете последователността и прикрепете към всеки елемент в конвергентна последователност (фиг. 10).

*19 Всъщност това е, разбира се, но тъй като всички вече са свикнали да пишат в училище, тогава ...

След всички изброими ординали следва първият неизброим ординал, който може да се получи например така. Нека напълно подредим сегмента. Вземете минималния неизброим ляв лъч. Ще му се обадим. Така че можете да продължите дълго време. В резултат на това получаваме верига

Какво представляват кардиналите? Някои ординали имат специално свойство, а именно, те не са еквивалентни на нито един от левите си лъчи. Такива ординали се наричат ​​началнииликардинали. (Кардиналите всъщност все още могат да бъдат дефинирани като: те са класове на еквивалентност на множества по отношение на „еквивалентно“.) Нито ординалите, нито кардиналите образуват множества, но тези „немножества“ са в известен смисъл едни и същи (може да се приложи донякъде формализирана теорема за приложение за класа на ординалите и класакардинали).

11.1. хипотеза за континуум

Теорема.не може да бъде представено като обединение на изброим брой комплекти с мощност, по-малка от континуум.

По друг начин може да се каже по следния начин: ако континуумът е разделен на обединението на изброим брой множества, тогава поне едно от тях има мощността на континуума. Ако знаехме, че множество с мощност, по-малка от континуума, е изброимо, тогава всичко е очевидно: изброимо обединение от изброими множества е изброимо. Но ние не знаем. Все пак се опитайте да докажете тази теорема.

Едно по-общо твърдение може да се докаже по подобен начин:

т.е. множеството от всички подмножества не е представено като обединение на "парчета" от набори с мощност по-малка от . Както се оказа, вярно е следното.

Теорема.Горната теорема и връзката на реда, която въведохме между кардиналите, са единствените ограничения за цялата верига от кардинали (т.е. предвид тези две условия, „всичко може да бъде“).

Това означава следното. Години наред математиците се опитват да докажат или отхвърлят естествено твърдение, наречено хипотеза за континуума:

, къде е следващата сила след.

През 1930 г. Гьодел доказва, че хипотезата за континуума е в съответствие със стандартната аксиоматика; през 1960 г. Коен осъзнава, че отричането на хипотезата за континуума също е в съответствие с тази аксиоматика; през 1980 г. е доказана теоремата, че „всичко може да бъде“.

Как може да се докаже изобщо, че дадено твърдение е в съответствие с някои аксиоматики, например с аксиоматиката на Цермело-Френкел? Необходимо е да се добави към тази аксиоматика и да се изгради модел за получената система от твърдения. Един от моделите е изграден съвсем просто: трябва внимателно да изхвърлите от веригата на кардиналите всички междинни междуи за всеки , тогава хипотезата за континуума ще бъде валидна. Вторият модел е малко по-сложен.

11.2. Най-големият кардинал

Понякога теоретиците на множеството започват да играят на това кой може да назове най-големия набор, кой може да излезе с най-големия кардинал. И такива игри водят до доста смислени определения и теореми.

Ние наричаме кардиналсилно недостижим, ако за всеки кардинал, по-малък от , множеството от всички подмножества е строго по-малко от . Наричаме кардинализмерим Ulam, ако съществува изброимо адитивна мярка в множеството от всички подмножества, която приема за всяко множество стойността или , или , и , . Трябва също така да изискваме това да не е така наречената -мярка, т.е. да няма формата

където е някакво фиксирано число.

Такива доста странни определения формализират идеята за много големи, огромни кардинали по различни начини. Веднага възникват интересни свойства на такива набори.

4. Докажете, че ако е Ulam-измерим кардинал, тогава той е силно недостижим.

Възниква естествен въпрос за съществуването на такива кардинали (важното е, че това не засяга упражнението, формулирано по-горе; дори ако нито единият, нито другите кардинали съществуват, никой не забранява да се докажат твърденията, които ги свързват). Нека формулираме проблем, обясняващ всичко.

5. Докажете, че ако съществува силно недостижим кардинал, тогава теорията на множествата със стандартната система от аксиоми на Zermelo–Fraenkel е последователна.

Както е известно, трудно е да се докаже последователността на теорията на множествата. Дори има теорема, че това е доста проблематично да се направи. Това показва, че току-що формулираното твърдение е много силно по своята същност. Нека се опитаме да дадем представа за неговото доказателство.

Наистина, ако съществува силно недостижим кардинал, тогава множеството от всички негови по-малки кардинали е затворено спрямо теоретико-множествените операции (обединение, пресичане и т.н.), т.е., то образува вътрешен модел на теория на множествата. Работейки с кардинали от тази колекция, ние никога няма да надхвърлим нашия крайно недостижим кардинал. Това означава, че чрез самата теория на множествата сме изградили модел на тази теория на множествата, т.е. доказали сме нейната последователност.

---