Значение на ПОЛОЖИТЕЛЕН СНОП в математическата енциклопедия
Значение на ПОЛОЖИТЕЛЕН СНОП в математическата енциклопедия:
обобщение на концепциятаза делителс положителна степен върху риманова повърхност. Холоморфен векторен пакет En над комплексно пространство Xd. положителен (означен с E>0), ако съществува ермитова метрикаh,в E, така че функцията
върху строго псевдоизпъкнал извън нулевия участък. АкоX -е многообразие, тогава условието за положителност се изразява от гледна точка на кривината на метрикатаh.А именно,формата на кривинана метриката h в снопа E съответства на ермитовата квадратна форма W върху X със стойности в снопа Herm E на ермитовите ендоморфизми на снопаE,Условието за положителност е равн. ивалентен на Wx(u)-е положително определен оператор вE xза всеки ненулев
В случай, когатоЕ -е сноп на комплексни прави над многообразиетоX,, условието за положителност е еквивалентно на положителната определеност на матрицата
,
къдетоz1, . . ., znса локални координати наX, h>0 е функция, дефинираща ермитовата метрика при локално тривиализиране на снопа. Ако X е компактен, тогава комплексният линейни пакет Enad X е положителен тогава и само акокласът Chen с 1(E) съдържа затворена форма на формата
където jab е положително определена ермитова матрица. По-специално, акоX -е риманова повърхност, тогава пакетът върхуX., дефиниран от делителя на степенd,, е положителен тогава и само ако d>0. В случая, когатоE -е сноп от ранг>1 над многообразие X с размерност>1, ние също така разглеждаме следния по-тесен клас на P.r. положителен в смисъла на Накано акоСъществува ермитова метрикаh,такава, че ермитовата квадратична форма H върху пакета, дадена от формулата
където , е положително определено. Примери: допирателният пакет към проективното пространствоP nе положителен, но за n>1 не е положителен в смисъла на Накано; пакетът в сложни линии надP n,, дефиниран от свръхтънкост, е положителен.
Всеки фактор-пакет от положителен векторен пакет е положителен. АкоE', E" -са положителни (положителни в смисъла на Накано) пакети, тогава такива са и положителни (положителни в смисъла на Накано).
Концепцията за "P. r." беше въведен във връзка стеоремата за изчезване на Кодайраза случая на снопове върху комплексни прави и след това обобщен за произволни снопове. Малко по-късно, във връзка с въпроса за съществуването на вграждане в проективно пространство, бяха отделени понятията за слабо положителни и слабо отрицателни снопове.
Холоморфен векторен пакет En над компактно комплексно пространство X се нарича. слабо отрицателна, ако нейната нулева секция има строго псевдоизпъкнала околност вE,, т.е. е изключителна аналитика. много. Пакетът на Enaz. слабо положителен, ако двойният пакетE*е слабо отрицателен. В случая, когатоX -е риманова повърхнина, понятията за слабо положителна и P. r. мач [5]. В общия случай положителността предполага слаба положителност; все още не са известни примери за слабо положителни, но не и положителни пакети (1983).
Слабата положителност на сноп е еквивалентна на всяко от следните свойства: за всеки кохерентен аналитик. точка на X имаm0>0, така че снопът в е генериран от глобални секции; за всеки съгласувананалитичен точка на X има такава, че
за всички (виж [3], [4]). Тук означаваме снопа от зародиши на холоморфни участъци на снопаE.геометрия и понякога се нарича. достатъчно аналитични пакети. Слабо положителен пакет върху пространство X естествено дефинира вграждане на пространството X в многообразие на Грасман и по този начин в проективно пространство.
Концепциите за положителни, отрицателни, слабо положителни и слабо отрицателни пакети също са естествено обобщени за случая на линейни пространства върху комплексно пространство X (вижтеВекторен аналитичен пакет).
Вижте същоОтрицателен пакет.
Спр.: [1] Уелс Р., Диференциално смятане на комплексни многообразия, прев. от англ., М., 1976; [2] Yazhen Sheng-shen, Комплексни многообразия, прев. от англ., М., 1961; [3] Резултати от науката и технологиите. Алгебра. Топология. Геометрия, том 15, М., 1977, стр. 93-171; [4] Schneider M., "Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg", 1978, Bd 47, S. 150-i70; [5] Umemura H., „Nagoya Math. J.“, 1973, v. 52,'p. 97-128.А. Л. Онищик.