Значението на думата "логаритъм" в Голямата съветска енциклопедия

Логаритъм на числото N при основа a, експонента m, до която трябва да се повдигне числото a (основалогаритъм ), за да се получиtitle="Азот">N; означен с logN. Така че m = logaN, ако a m = N. Например, log10 100 = 2; log2 1 /32 = - 5; log 1 \u003d 0, защото 100 \u003d 10 2, 1 / 32 \u003d 2 -5, 1 = a 0. За отрицателно a, безкрайно много положителни числа няма да имат реални логаритми, така че вземаме > 0 и a ¹ 1. От свойстватана логаритмичната функцияследва, че всяко положително число съответства на дадена основа от единици. реаленЛогаритъм (логаритмите на отрицателните числа са комплексни числа). Основни свойства наЛогаритъм :

логалогаN

ви позволяват да намалите умножението и деленето на числа до събирането и изваждането имЛогаритъм, а повишаването на степен и извличането на корен - до умножаване и деление наЛогаритъм по степен или корен, т.е. до по-прости действия.

Когато основата a е фиксирана, се говори за определена системаЛогаритъм В съответствие с десетичния характер на нашето броене, най-често използваният десетиченЛогаритъм (a = 10), обозначен с lg N. дроби. Цялата част от десетичнияЛогаритъм име. характеристика, дробна - мантиса. Тъй като lg(10 k N) = k + lgN, тогава десетичнителогаритмични числа, различаващи се с фактор 10 k, имат една и съща мантиса и се различават само по характеристики. Това свойство е в основата на конструкцията наЛогаритъм таблици, които съдържат само мантисиЛогаритъм от цели числачисла (вижтеЛогаритмични таблици).

От голямо значение са и естественитеЛогаритъм, чиято основа е трансцендентното число e = 2,71828. ; те се означават с lnN. Преходът от една основаЛогаритъм към друга се извършва по формулата logbN = logaN/logab, множителят 1/logab се нарича преходен модул (трансфер) от основа a към база b. За да превключим от естественлогаритъм към десетичен или обратно, имаме

lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;

1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429.

Историческа справка. ОткритиетоЛогаритъм е свързано предимно с бързото развитие на астрономията през 16 век, усъвършенстването на астрономическите наблюдения и усложняването на астрономическите изчисления. Авторите на първите таблициЛогаритъм изхождат от връзката между свойствата на геометричната прогресия и аритметичната прогресия, съставена от показателите на степента на нейните членове. Тези зависимости, отбелязани частично отАрхимед(3 век пр.н.е.), са били добре известни на Н.Шуке(1484) и немския математик М. Щифел (1544). Първите логаритмични таблици са съставени едновременно и независимо една от друга от J.Napier(1614, 1619) и швейцарския математик I. Burgi (1620). Важна стъпка в теоретичното изследване наЛогаритъм е направена от белгийския математик Грегъри от Сен Винсент (1647), който открива връзката междуЛогаритъм и областите, ограничени от хиперболична дъга, абсцисната ос и съответните ординати. Представянето наЛогаритъм чрез безкраен степенен ред е дадено от Н.Меркатор(1668), който открива, че

In(1+x) =x

Скоро след това J.Gregory(1668) открива разлагането

вътре

Този ред се сближава много бързо, ако M = N + 1 и Nдостатъчно голям; следователно може да се използва за изчисляване наЛогаритъм В развитието на теорията заЛогаритъм работиЛогаритъмОйлер.Той установява концепцията за логаритъм като действие, обратно на степенуването.

Терминът "Логаритъм " е предложен от J. Napier; произлиза от комбинация от гръцките думи logos (тук - отношение) и arithmos (число); в древната математика съотношенията на квадрат, куб и т.н. a/b се наричат "двойни", "тройни" и т.н. Така за Napier думите „lógu arithmós” означават „числото (множеството) на съотношението”, т.е.Логаритъмът на J. Napier е спомагателно число за измерване на съотношението на две числа. Терминът "натурален логаритъм" принадлежи на Н. Меркатор, "характеристичен" - на английския математик Г. Бригс, "мантиса" в нашия смисъл -Логаритъм на Ойлер, "база"Логаритъм - на него, концепцията за модула на прехода е въведена от Н. Меркатор. Съвременната дефиниция наЛогаритъм е дадена за първи път от английския математик У. Гардинър (1742). ЗнакътЛогаритъм - резултат от намаляването на думата "Логаритъм " - се среща в различни форми почти едновременно с появата на първите таблици [например, Log - от I.Kepler(1624) и G. Briggs (1631), log и 1. - B.Cavalieri(1 632, 1643)].

Лит.:Маркушевич А. И., Площи и логаритми, М. -Логаритъм, 1952; История на математиката, том 2, М., 1970.