25. Д.У от първи ред, класификация до
където y '= f(x,y) е неизвестна, непрекъснато диференцируема по (a,b) функция, се нарича обикновено диференциално уравнение от първи ред.
Функцияy=y(x) ерешение на диференциално уравнениеF(x,y,y') = 0, ако е непрекъснато диференцируема върху (a,b) иF(x,y(x),y'(x)) ≡ 0 за всичкиxот (a,b) .
Диференциалното уравнение от първи ред има безкрайно много решения. За да се отдели едно решение, трябва да се посочат допълнителни (начални) условия. За да намерите конкретно решение, трябва да използватепроблема на Коши
Частичните диференциални уравнения могат да бъдат класифицирани по много начини.
Класификацията на уравненията е важна, защото всеки клас има своя собствена обща теория и методи за решаване на уравнения.
Има шест метода за класифициране на уравнения.
1. Редът на уравнението. Редът на уравнението е най-високият ред на частните производни в уравнението.
2.Линейност.Диференциално уравнение на формата
къдетоa(x) иb(x) са непрекъснати функцииx,се нарича линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред.
26. Уравнение с разделими променливи
Уравнение от формата , в което коефициентите на диференциалите се разлагат на фактори, които зависят само от и само от, се нарича уравнение с разделими променливи.
Чрез разделяне на продукта, то се свежда до уравнение с разделени променливи:
Общият интеграл на това уравнение има формата
27. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред
Хомогенни диференциални уравнения от първи ред сауравнения на формата
Как да разпознаем хомогенно диференциално уравнение
За да разпознаете хомогенно диференциално уравнение, трябва да въведете константа t и да направите промяната y → ty, x → tx. Ако в резултат на такова преобразуване константата t се намали, тогава това е хомогенно диференциално уравнение. Производната y′ не се променя при такава трансформация:
28. Линейно диференциално уравнение от първи ред
Дефиниция на линейно диференциално уравнение от първи ред. Разгледан е метод за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред чрез метода на интегриращия фактор. Даден е пример за подробно решение на линейно диференциално уравнение.
Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение на формата
Линейно хомогенно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от вида
Линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от вида
Членът q(x) се нарича нехомогенна част от уравнението.
29. Интегриране по части в определен интеграл
Прилагането на определени условия или действия за идентифициране на въпросното събитие се нарича опит или експеримент.
Едно събитие се нарича случайно, ако в резултат на опит то може или не може да се случи.
Едно събитие се нарича сигурно, ако непременно възниква в резултат на дадено преживяване, и невъзможно, ако не може да се появи в това преживяване.
Един от основните проблеми в теорията на вероятностите е проблемът за определяне на количествена мярка за възможността за възникване на събитие.
Всеки от еднакво възможните тестови резултати (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се означават с букви. Например, хвърля се зар. Елементарни резултатимогат да бъдат общо шест според броя на точките на лицата.
От елементарни резултати можете да съставите по-сложно събитие. И така, събитието с четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.
Количествена мярка за възможността за настъпване на разглежданото събитие е вероятността.
Най-широко използвани са две дефиниции на вероятността от събитие: класическа и статистическа.
Класическата дефиниция на вероятността е свързана с понятието благоприятен изход.
Резултатът се нарича благоприятен за дадено събитие, ако настъпването му води до настъпването на това събитие.
В дадения пример разглежданото събитие е четен брой точки на отпадналия ръб, има три благоприятни изхода. В този случай е известен и общият брой възможни резултати. И така, тук можете да използвате класическата дефиниция на вероятността от събитие.
класическо определение. Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати
(1.1)
къде е вероятността на събитието, е броят на резултатите, благоприятни за събитието, е общият брой на възможните резултати.
В разглеждания пример
Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на поява на дадено събитие в експериментите.
Относителната честота на възникване на дадено събитие се изчислява по формулата
(1.2)
където е броят на поява на събитие в серия от експерименти (тестове).
Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, спрямо което се стабилизира (установява) относителната честота с неограничено увеличаване на броя на експериментите.
В практическите задачи относителната честота за достатъчно голям брой опити се приема като вероятност за събитие.
От тези дефиниции на вероятността за събитие може да се види, че неравенството винаги е в сила
За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват комбинаторни формули за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой възможни резултати.
Пример. Известно е, че от 30 получени шевни машини 10 са с вътрешен дефект. Определете вероятността от партида от 5 коли, взети на случаен принцип, 3 да са без дефекти.
Решение. За да разрешим този проблем, въвеждаме нотация. Let - общият брой машини, - броят на машините без дефекти, - броят на машините, избрани за партидата, - броят на машините без дефекти в избраната партида.
Общият брой комбинации от автомобили, т.е. общият брой възможни резултати ще бъде равен на броя на комбинациите от елементите по, т.е. но всяка избрана комбинация трябва да съдържа три бездефектни коли. Броят на такива комбинации е равен на броя на комбинациите от елементи по, т.е.
С всяка такава комбинация в избраната партида, останалите дефектни елементи също образуват набор от комбинации, чийто брой е равен на броя на комбинациите на елементите по, т.е.
Това означава, че общият брой благоприятни резултати се определя от продукта. Докъде ще стигнем
Заменете в тази формула числените стойности от този пример