3.3. Анюитетна оценка с период над една година
В практиката широко се използват анюитетите, чиито периоди не надвишават базисните периоди за изчисляване на лихвата. По-специално, ако базовият период е една година, тогава анюитетният период не надвишава една година. Въпреки това, има ситуации, свързани с анюитет, когато неговият период е повече от една година.
Формулите за оценка на бъдещата и настоящата стойност на анюитет с период, по-дълъг от основния лихвен период, са подобни на формулите за оценка на бъдещата и настояща стойност на обикновен анюитет. Формулите за оценки на анюитета prenumerando се извличат от съответните формули за оценки на анюитета postnumerando, като се използва като правило фактът, че паричните постъпления prenumerando започват период (анюитет) по-рано от postnumerando.
Типични примери и методи за тяхното решаване
Пример 3.3.1.Служител сключва 12-годишен пенсионен договор с компания, според който 3000 рубли ще бъдат кредитирани по банковата сметка на служителя в края на всеки двегодишен период. Изисква се определяне на натрупаната сума до края на договора, ако постъпващите суми ще се начисляват: а) годишна сложна лихва при номинален годишен лихвен процент от 24%; б) тримесечна сложна лихва при номинален годишен лихвен процент 24%; в) непрекъсната, лихва с темп на нарастване 24% годишно.
Решение.Паричните постъпления формират постоянен postnumerando анюитет сА= 3 хиляди рубли, за периодn= 12 години и периоди= 2 години. Следователно анюитетният период е по-дълъг от базовия лихвен период от една година. Схематично това изглежда така:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12tгодини
а) В този случайr= 24%,m= 1 и по формула (146) получаваме:
хиляди рубли.
б) Тъй като в този случайтримесечно начисляване на лихва, тогаваm= 4 и по формула (146) получаваме:
хиляди рубли.
в) Приемайки
хиляди рубли.
Пример 3.3.2.Определете сумата, която трябва да бъде депозирана в банкова сметка, за да можете да изтеглите 8 хиляди рубли от сметката за 15 години в края на всеки тригодишен период и до края на периода напълно да изтеглите всички пари от сметката, ако сумите по сметката ще се начисляват: а) сложна лихва в размер на 20% годишно; б) на всеки шест месеца сложна лихва в размер на 20%; в) непрекъсната лихва с темп на нарастване 20%.
Решение.Във всички случаи е необходимо да се определи настоящата стойност на постоянен анюитет сA= 8 хиляди рубли, периодu= 3 години и периодn= 15 години.
а) Тъй катоr=20%, тогава, прилагайки формула (147) приm= 1, получаваме:
хиляди рубли.
b) В този случайm= 2,r= 20%, и следователно от формула (147) следва, че:
хиляди рубли.
в) Тъй като в този случай непрекъснатата лихва се начислява със сила на растеж
хиляди рубли.
Пример 3.3.3.Банковата сметка в началото на всеки двугодишен период ще получи 8 хиляди рубли. в рамките на 10 години. Изисква се да се определи: а) бъдещата стойност на анюитета; б) настоящата стойност на анюитета, ако декурсивната сложна лихва се начислява годишно върху входящите суми в размер на 22% годишно.
Решение.Според условието имаме анюитет prenumerando с членA= 14 хиляди рубли, периодu= 2 години и срокn= 10 години. Сложен лихвен процентr= 22% годишно и брой лихвени начисленияm= 1.
а) В съответствие с формули (146) и (152) получаваме:
хиляди рубли.
б) Чрезформули (147) и (153):
хиляди рубли.
Пример 3.3.4Предприемач закупи оборудване на кредит за 900 хиляди рубли. при 25% годишно, начислени съгласно схемата за сложна лихва върху непогасеното салдо. Дългът трябва да бъде изплатен на равни суми в края на всяка втора година и те трябва да изплатят целия дълг за 10 години. Необходимо е да се определи размерът на всяко плащане и да се състави план за погасяване на дълга.
Решение.Означете сAстойността на всяко желано плащане. Потокът от тези плащания е postnumerando анюитет, за който
търкайте.
Сега нека обясним изготвянето на план за погасяване на дълга. Тъй като през първите две години предприемачът използва заем в размер на 900 000 рубли, плащането, което се равнява на 567 147 рубли. и ще бъде направено в края на втората година, се състои от следните две части: сложна лихва за две години в размер на 506 250 рубли. (рубли) и погасителната част на дълга в размер на 567147 - 506250 = 60897 рубли. През следващия двугодишен период изчислението ще се повтори, при условие че размерът на кредита, от който се възползва предприемачът, ще бъде по-малък в сравнение с първите две години, а именно: 900 000 - 60 897 = 839 103 рубли. Така сложната лихва за две години ще бъде равна на 471 995 рубли. (рубли), а изплащаемата част от дълга ще бъде равна на 567147 - 471995 = 95152 рубли. и т.н. Ясно е, че с течение на времето размерът на платената лихва намалява, а делът на плащането към погасяване на дълга се увеличава.
Ще представим плана за погасяване на дълга под формата на таблица