4 Система от аксиоми на Хилберт
Системата от аксиоми, представена по-долу, е малко по-различна от предложената от Хилберт, но това вече е прието в образователната литература. Нека са дадени три различни набора. Елементите на първото множество ще се наричат точки и ще се означават с A, B, C, ... Елементите на второто ще се наричат прави линии и ще се означават a, b, c, ... Елементите на третото множество ще се наричат равнини и ще се означават с a, b, g, ... Елементите на тези множества са в определени отношения, т.е. елементи от едно от тези множества са свързани с елементи от други множества. Тези отношения се наричат (по навик) “принадлежност”, “лежат”, “преминават”, “лежат между”, “конкурентност”, “равенство”. Тези отношения трябва да отговарят на определени аксиоми. В този случай аксиомите на Хилберт. Списъкът на Хилберт съдържа 20 аксиоми, които са разделени на 5 групи:
(8 броя) Аксиомиинциденти(аксесоари, връзки).
(4 броя) Аксиоми на реда
(5 броя) Аксиоми на конгруентността
(2) Аксиоми на непрекъснатостта
(1) Аксиома за паралелизъм
Геометрията, изградена върху аксиомите от групи I-IV, се нарича абсолютна
I1 Каквито и да са две точки a и b, съществува права a, минаваща през тези точки. (случайно съм)
I2Каквито и да са две точки A и B, най-много една права минава през тези точки.
I3Всеки ред съдържа поне две точки. Има поне три точки, които не лежат на една права.
I4Каквито и да са трите точки A,B,C, които не лежат на една права, има
равнинаa, минаваща през тези точки. Всяка равнина съдържа поне една точка.
I5Каквито и да са трите точки, които не лежат наедна права, най-много една равнина минава през тези точки.
I6Ако две точки A и B от една права лежат в равнинатаa, то всяка точка от правата a лежи в равнинатаa. (В този случай ще кажем, че правата a лежи в равнинатаaили че равнината aминава през правата a.
I7Ако две равниниaиbимат обща точка A, то те имат поне още една обща точка B.
I8Има поне четири точки, които не лежат в една и съща равнина.
Вече от тези 8 аксиоми могат да се изведат няколко теореми на елементарната геометрия, които са ясно очевидни и следователно не се доказват в училищния курс по геометрия и дори понякога, по логически причини, са включени в аксиомите на конкретен училищен курс
Две прави имат най-много една обща точка.
Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези две равнини.
Доказателство: (за показ):
Чрез I7$B, което също принадлежи на a и b, защото A, B'a, след това от I6 AB'b. Така че правата AB е обща за две равнини.
През права и точка, която не лежи на нея, както през две пресичащи се прави, минава една и само една равнина.
Във всяка равнина има три точки, които не лежат на една права.
ЗАБЕЛЕЖКА: Малко теореми могат да бъдат доказани с тези аксиоми и повечето от тях са толкова прости. По-специално, от тези аксиоми е невъзможно да се докаже, че наборът от геометрични елементи е безкраен.