§ 5. Уравнения с една променлива. Еквивалентни уравнения
Дефиниция.Некаf(x) иg(x) са два израза с променливаxи домейнX. Тогава предикатътf(x) =g(x) се наричауравнениес една променлива.
Дефиниция.Стойността на променливаxот набораX, при която уравнението става истинско числово равенство, се наричакоренна уравнението или неговото решение.
Решаването на уравнение означава намиране на множеството от неговите корени.
Пример.1) 7x+ 5 = 3x+ 13,xR. Това уравнение се превръща в истинско равенство, когатоx= 2, следователно множеството от неговите решения е .
2) (х– 3)(х+ 3) = 0 – множеството от решения е .
защото уравнението е предикат, тогава два набора са свързани с всяко уравнение:
наборXот валидни стойности на променлива (набор от дефиниция на предикат),
наборTот корени на уравнение (набор за предикатна истина).
Дефиниция.Нека две уравненияf1(x) =g1(x) иf2(x) =g2(x) са дадени на множествотоXи е известно, чеT1 е множеството от решения на първото уравнение (T1 Х),Т2 – набор от решения на второто уравнение (Т2 Х). АкоT1 =T2, тогава тези уравнения се наричат еквивалентнив множествотоX.
С други думи: две уравнения се наричат еквивалентни в множествотоX, ако множествата от решения на тези уравнения, принадлежащи към множествотоX, са еднакви.
Дефиниция.Ако множеството от решения на уравнениетоf1(x) =g1(x) (1) е подмножество от множеството от решения на уравнениетоf2(x) =g2(x) (2), тогава уравнение (2) се нарича следствие от уравнение (1 ).
другиС други думи: уравнение (2) е следствие от уравнение (1), ако всеки корен от уравнение (1) е корен от уравнение (2).
Пример.(x+ 2) 2 = 25 е следствие от уравнениетоx+ 2 = 5, защото уравнениетоx+ 2 = 5 има само един корен 3, като го заместим в уравнението (x+ 2) 2 = 25, получаваме истинското равенство (3 + 2) 2 = 25, което показва, че 3 удовлетворява уравнението (x+ 2) 2 = 25.
Две уравнения са еквивалентни тогава и само ако всяко е следствие от другото.
Теореми за еквивалентността на уравнения
С други думи: ако добавим един и същ израз с променлива, дефинирана на едно и също множествоXкъм двете части на уравнението с домейн на дефиницияX, получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.
При решаване на уравнения по-често се използват следствията от теоремата.
Следствие 1. Ако добавим едно и също число към двете страни на уравнението, получаваме уравнение, което е еквивалентно на даденото.
Следствие 2. Ако произволен член (числов израз или израз с променлива) се прехвърли от една част на уравнението в друга, променяйки знака на члена на противоположния, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.
Теорема 2.Нека уравнениетоf(x) =g(x) е дефинирано в множествотоXиh(x) е израз, дефиниран в същото множествоXи не изчезва за никакви стойностихот множествотоX. Тогава уравнениятаf(x) =g(x) (1) иf(x) ∙h(х) =g(x) ∙h(х) (2) са еквивалентни на множествотоX.
С други думи: ако и двете части на уравнение с домейн на дефиницияXсе умножат по един и същ израз с променлива, която е дефинирана върху товасъщото множество и не се нулира върху него, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.
Последствие.Ако и двете части на уравнението се умножат (или разделят) на едно и също ненулево число, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.
С други думи: когато двете страни на уравнението се повдигнат на четна степен, се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото, при условие че и двете страни на уравнението са неотрицателни.
Забележка. Ако и двете части на уравнението се повдигнат на четна степен, тогава полученото уравнение ще бъде следствие от първоначалното. Акоnе нечетно естествено число, тогава уравнениятаf(x) =g(x) иfn(x) =gn(x) са еквивалентни.
Пример. Еквивалентни ли са уравненията?
(4x+ 3) ∙x= 11xи 4x+ 3= 11. Не, защото разделихме двете страни на уравнението наx, т.е. умножено по израза , но прих= 0 няма смисъл, т.е. не сме изпълнили условието на теорема 2.T1 = ,T2 = .
(4x+ 3)(x2 + 2) = 11(x2 + 2) и 4x+ 3= 11 са еквивалентни, тъй катоx2 + 2 0 за липса на реалноx.
В началния курс по математика теоретичната основа за решаване на уравнение е връзката между компонентите и резултата от действията.