7.P-1. Производител на моторни шейни
Производителят на моторни шейни трябва да направи поръчка за двигатели за 1 месец работа с външен доставчик. Срокът за изпълнение на тази поръчка от доставчика е 2 месеца. Кампанията изработва моторни шейни по поръчка, като произведеното количество се определя от броя на поръчките за моторни шейни за даден месец. Какъв брой поръчки ще има компанията след 2 месеца (когато поръчката от доставчика трябва да бъде направена днес) не е известно, но предишният опит ни позволява да оценим вероятността от различни нива на търсене. Данните са представени в таблицата.
Ако закупеният двигател се използва през месеца, за който е закупен, той носи печалба от $300, ако е остарял до следващия месец, това води до загуба от $100.
Направете таблица с печалби и загуби. Като използвате принципа на максималната очаквана парична стойност, определете:
какъв е оптималният размер на поръчката?
каква е цената на перфектната информация?
Как ще се промени оптималното решение, ако загубата от неизползван двигател е $300? Как ще се промени цената на перфектната информация в този случай?
Анализирайте колко ще се промени решението, ако вероятностите са известни с точност не по-добра от 5 процентни пункта.
Сравнете заключенията, достигнати чрез критерия за съжаление за максимин и минимакс, с решението, основано на максималната очаквана парична стойност на алтернативата.
За да се изгради таблица на печалбите и загубите, е необходимо да се определи кои стойности на търсенето (бъдещи сценарии) ще считаме за възможни и от кои прогнозни размери на поръчката ще изберем оптималната (алтернативи).
Дадена в условията на проблема, таблицата на вероятностното разпределение на различни стойности на търсенето ни подтиква да изберем 6 числа, отразени внея. Това е особено естествено, тъй като съответните вероятности вече са оценени за тези нива на търсене.
Предполагаме, че вероятностното разпределение на търсенето, дадено в условието, трябва да се приложи директно към месеца, който ни интересува. След това, за да се избегнат ненужни усложнения, е естествено да се изберат същите стойности като нивата на търсене, представени в таблицата, като разглежданите алтернативи за размера на поръчката.
Тогава таблицата на печалбите и загубите ще има 6x6=36 клетки, във всяка от които е необходимо да се изчисли финансовата печалба или загуба. Ако организирате таблицата, както е показано на фигурата (фиг. 260), тогава тези финансови резултати трябва да се съдържат в клетки C4:H9. Те могат да бъдат изчислени за всеки от 36-те сценария поотделно, но това е досадно и, най-важното, изобщо не е в духа на идеологията на MS-Excel. Нека направим формула.
При различни възможности за поръчка и търсене могат да възникнат две коренно различни ситуации.
= АКО ($B4
Изчислете EMV стойността за всяка алтернатива, като използвате функцията =SUMPRODUCT(..). За поръчка от 700 двигателя функцията ще изглежда така:
=SUMPRODUCT($S$11:$N$11;S9:N9). Връзката към низа на вероятностите е фиксирана. Поставете тази формула в клетка 19 и я плъзнете нагоре до клетка 14.
Стойността на EMV (фиг. 262) се променя немонотонно с нарастването на поръчката: първо нараства от 60 хиляди до 102 хиляди, а след това намалява до 90 хиляди Максималната стойност на средната печалба - 102 хиляди - съответства на поръчка от 500 двигателя.
Както е показано в теоретичното въведение, допълнителната информация може да увеличи очакваната ни печалба и да намали риска от загуба. Нека изчислим цената на перфектната информация. За да направим това, първо, в ред C10:H10 определяме максималните печалби завсеки бъдещ сценарий с помощта на функцията =MAX(..).
За клетка C10 формулата ще изглежда така: =MAX(C4:C9). При плъзгане на формулата надясно до клетка H10 ще видим, че всеки път от колоната печалба се избира стойността на клетката, разположена по диагонала на таблицата.
Тъй като вероятностите за всяко ниво на търсене остават същите, можем да изчислим очакваната парична стойност в хипотетичния случай на перфектна информация (т.е. ако всеки месец някой ангел пазител ни казва точната стойност на търсенето). За да направите това, просто плъзнете формулата в клетка I9 една клетка надолу (фиг. 263).
Оказва се, че уникален източник на перфектна информация, който всеки месец ни съобщава точните стойности на бъдещото търсене, увеличава очакваната ни печалба само с 18% (получаваме 102 хиляди вместо 120 хиляди). Тази стойност е цената на перфектната EVPI информация, т.е. горната граница на цената, която сме готови да платим за информация, когато избираме от разглежданите алтернативи при дадени сценарии на бъдещето.
Перфектна информация (особено за търсенето) не може да бъде получена. Несъвършената информация (въз основа на експертни оценки) винаги има вероятностен характер и действа върху статистическото разпределение на вероятностите, променяйки го в една или друга посока. Например, ако нашите маркетингови експерти кажат, че търсенето следващия месец ще бъде по-високо от обикновено, това очевидно означава, че вероятностите за високо търсене трябва да се увеличат, докато вероятностите за ниско търсене, напротив, ще намалеят. В нашата таблица вероятността търсенето да не надвишава 400 двигателя е 0,65 (0,15 + 0,25 + 0,25), а вероятността търсенето да бъде 500 двигателя или повече е 0,35. Тези. ниското търсене е почти два пъти по-вероятноВисоко. Да приемем, че информацията на експертите изравнява тези вероятности. Тогава вероятностното разпределение може да бъде написано чрез изваждане на 0,05 от първите три вероятности и добавяне на същата сума към последните три вероятности (вижте таблица Фиг. 264).
Оценка на вероятностното разпределение при отчитане на информация
Вероятности при повишено търсене
Ниски вероятности за търсене
От своя страна, ако търсенето през следващия месец се очаква да бъде по-ниско от това през текущия, можем да оценим промяната в разпределението на вероятностите, като намалим вероятностите за високо търсене и съответно увеличим вероятностите за ниско търсене (вижте таблицата на фиг. 206).
За новополучените вероятностни разпределения на търсенето е необходимо да се повторят изчисленията на максималната стойност на EMV. Нека копираме създадената по-рано таблица върху два нови Excel листа (чрез командата Move\Copy.). Нека заменим вероятностите в тези листове с нови и ще получим следния резултат (фиг. 266).
Ориз. 266 Изчисляване на EMV алтернативи за намалено търсене
Ориз. 267 Изчисляване на EMV алтернативи за високо търсене
Както виждаме, при повишено търсене (фиг. 267), максималната стойност на EMV (114 хиляди) съответства на избора на 500 или 600 двигателя. При намалено търсене (фиг. 266), максималната EMV стойност (92 хиляди) съответства на избор от 400 двигателя. Резултатът от поръчката на 500 двигателя обаче е само с 2000 по-лош.
Това означава, че ако поръчваме непрекъснато 500 двигателя и не реагираме на сигнали за евентуално увеличение или намаляване на търсенето, всъщност няма да загубим нищо. Изборът от 500 двигателя е оптимален и остава такъв дори при значителни вариации във вероятностите за бъдещи сценарии, отразяващи възможните вариации в търсенето. Това малко проучване еотговор на въпроса дали оптималното решение се променя, ако вземем предвид, че всички вероятности са ни известни с точност не по-добра от 5 процентни пункта. Взехме два екстремни случая за това как може да изглежда истинското разпределение на вероятностите на търсенето и първоначално избраното решение за поръчка на 500 двигателя почти не се е променило.
Наред с разпределението на вероятностите за търсене, относителната величина на възможните загуби оказва голямо влияние върху разработването на решение. Казваме относително, тъй като има значение съотношението на печалбата от използването на двигателя в крайния продукт и загубата от съхранението му за допълнителен месец. При първоначалната формулировка на задачата очакваните загуби са три пъти по-малки от печалбата. Поради това оптималният размер на поръчката е по-висок от средното месечно търсене. Между другото, ние все още не сме изчислили какво точно е това средно търсене. Нека го направим сега.
Изчисляването на средното търсене се извършва точно по същия начин като очакваната парична стойност, само че сега умножаваме стойностите на търсенето по съответните вероятности. Нека добавим формулата =SUMPRODUCT($C$11 :$H$11,C3:H3) към някоя клетка.
Резултатът от изчислението е 400 двигателя. Така получихме оптималния размер на поръчката от 500 двигателя при средно търсене от 400 двигателя. Това, както вече отбелязахме, се дължи на факта, че печалбата от навременното използване на двигателя е по-висока от загубите от съхранението му за допълнителен месец.
Задачата пита как ще се промени решението, ако загубата достигне 300 единици. В този случай размерът на печалбата на един двигател е равен на загубите. Ако си припомним идеологията на модела на еднопериодния ред, чиято връзка с тази задача е очевидна, тогава можем да предположим, че при тези условия е най-изгодноредът ще бъде равен на средния. Нека проверим това, като променим стойността на загубата в оригиналната таблица (фиг. 263) с -0,3 хиляди (фиг. 268).
Както виждаме, оптималният ред, съответстващ на максималната стойност от EMV=87 хиляди, наистина е равен на 400 двигателя. Конструираната таблица съдържа и друга интересна информация от гледна точка на формиране на поръчки. Например, от факта, че EMV300 = 81 хиляди и EMV500 = 78 хиляди, можем да заключим, че грешка в стойността на поръчката в по-ниската посока ще бъде по-евтина, отколкото в посоката на надценяване.
Като цяло условията за бизнес се влошиха. Възможните загуби, ако надценим търсенето, се увеличиха. Следователно очакваната печалба с оптималния размер на поръчката е станала по-малка. Тук отбелязваме и повишената цена на перфектната информация (EVPI = 33 хиляди). Това е в съответствие с общ принцип, който е ясен и интуитивен: колкото по-висок е рискът и вероятните загуби, толкова по-скъпа е информацията.
Проверете дали цената на перфектната информация отива до нула, ако възможната загуба на закон е нула. И отново всичко е ясно: ако информацията не носи допълнителни пари, тя не струва нищо!
Последният въпрос от проблема всъщност също е свързан с точността на статистическата информация, с която разполагаме. Да кажем, че нямаме статистика за моторните шейни. Взехме дадените вероятности от данните за търсенето на подобен продукт, от експертни оценки, но изобщо не сме сигурни, че те са валидни в нашия случай. Нека се опитаме в тази ситуация да привлечем оценки според критериите за максимин и минимакс съжаления.
Оценката по максиминния критерий е много проста и не изисква промени във вече направените изчисления. Да се върнем към оригиналната таблица (фиг. 269). Според максималния критерий за всяка алтернатива трябва да изберете еднабъдещ сценарий, в който нашата печалба е минимална (това е критерият на песимиста – най-лошото ще ни се случи, без значение коя алтернатива изберем), и след това изберете алтернативата, при която това „най-лошо“ е по-добро от всички останали. В този проблем, независимо от избраната алтернатива, най-лошото е най-малкото търсене - 200 двигателя. Нека да разгледаме таблицата, в кой ред печалбата за търсенето на 200 двигателя е максимална. Ясно е, че това са 60 хиляди и такава печалба съответства на порядъка на 200 двигателя. Това еоптималното решение според максималния критерий.
За оценка по минимаксния критерий е необходимо да се изгради таблица на пропуснатите възможности. В тази таблица, вместо финансовата печалба (или загуба), всяка клетка трябва да съдържа разликата между максималната възможна печалба за дадено ниво на търсене (ред C10:H10) и печалбата от таблица C4:H9. Нека напишем формулата =C$10-C4 в клетка C15 и да я разширим до цялата втора таблица C15:H20.
След това трябва да изберем за всеки размер на поръчката максималните пропуснати възможности („най-лошите“ - според критерия за максимални съжаления). Нека добавим колоната "Макс, загуби" към таблицата. Нека напишем формулата =MAX(C15:H15) в клетка I15 и я плъзнете надолу до клетка I20. Така получихме максимално пропуснатите възможности за всяка алтернатива - размер на поръчката. Имайте предвид, че тези пропуснати възможности са от различно естество. Всички числа над диагонала (тук нашите пропуснати възможности са равни на нула, тъй като поръчката се оказа точно равна на търсенето) са пропуснати ползи. Числата под диагонала са преки финансови загуби. Според критерия за максимално съжаление трябва да разглеждаме тези два вида загуби на равна основа.
Големината на максималните пропуснати възможности с нарастванеразмерът на поръчката също варира немонотонно - първо намалява, а след това расте. Най-малката стойност на тази стойност - 40 хиляди - съответства на порядъка на 600 двигателя. Имайте предвид, че изборът на минимаксни съжаления зависи само от съотношението на печалбите и загубите и не взема предвид разпределението на вероятностите. В този случай обаче изборът е близък до избора според критерия за максимална EMV.