Абстрактни комплексни числа

Комплексни [1] числае разширение на множеството от реални числа, обикновено означавано с . Всяко комплексно число може да бъде представено като формална сумаx+iy, къдетоxиyса реални числа,iе имагинерна единица [2] .

Комплексните числа образуват алгебрично затворено поле, което означава, че полином от степенnс комплексни коефициенти има точноnкомплексни корени (основната теорема на алгебрата). Това е една от основните причини за широкото използване на комплексните числа в математическите изследвания. Освен това използването на комплексни числа дава възможност за удобно и компактно формулиране на много математически модели, използвани в математическата физика и природните науки - електротехника, хидродинамика, картография, квантова механика, теория на трептенията и много други.

1. Дефиниции

Полето от комплексни числа може да се разбира като разширение на полето от реални числа, в което полиномътz2 + 1 има корен. Следващите два елементарни модела показват, че е възможно последователно изграждане на такава система от числа. И двете дадени дефиниции водят до изоморфни разширения на полето от реални числа, както всяка друга конструкция на полето за разширение на полиномаz2 + 1 .

1.1. стандартен модел

Комплексно числоzможе да се дефинира като подредена двойка реални числа (x,y). Ние въвеждаме операциите на събиране и умножение на такива двойки, както следва:

Реалните числа в този модел са подмножество от набора от комплексни числа и са представени от двойки от формата , а операциите с такива двойки са в съответствие с обичайното събиране и умножение на реални числа. Нулата е представена от двойка единица - а имагинерната - На множествотокомплексните числа нула и единица имат същите свойства като на множеството реални, а квадратът на въображаемата единица, както е лесно да се провери, е равен на, т.е. −1.

Лесно е да се покаже, че дефинираните по-горе операции имат същите свойства като аналогични операции с реални числа. Единствените изключения са свойствата, свързани с релацията на реда (по-голямо-по-малко), тъй като е невъзможно да се разшири редът на реалните числа, за да се включат всички комплексни числа, така че операциите да са в съответствие с реда.

1.2. матричен модел

Комплексните числа могат също да бъдат дефинирани като семейство от реални матрици на формата

с обичайното матрично събиране и умножение. Реалната единица ще съответства на

1.3. Забележки

Погрешно е числотоiда се дефинира като единственото число, което удовлетворява уравнениетоx2 = − 1, тъй като числото ( −i) също удовлетворява това уравнение.

Трябва също така да се отбележи, че изразът, често използван по-рано вместоi, не е съвсем правилен, тъй като алгебричният корен е дефиниран върху множеството от неотрицателни числа. До 19-ти век, включително, записът изглеждаше считан за приемлив, но в момента, за да се избегнат грешки, е обичайно този израз да се пише като . Пример за възможна грешка при небрежно използване на остарял запис:

докато правилният отговор е:

2. Действия върху комплексни числа

  • Сравнениетоa+bi=c+diозначава, чеa=cиb=d(две комплексни числа са равни тогава и само ако техните реални и имагинерни части са равни).
  • Събиране (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
  • Изваждане (a+bi) − (c+di) = (a− ​​​​c) + (b− ​​​​d)i.
  • Умножение
  • дивизия

3. Геометричен модел

Да разгледаме равнина с правоъгълна координатна система. За всяко комплексно число свързваме точка в равнината с координати x,y> (както и радиус вектора, свързващ началото с тази точка). Такава равнина се нарича сложна. Реалните числа върху него заемат хоризонталната ос, имагинерната единица е представена от единицата по вертикалната ос; поради тази причина хоризонталната и вертикалната ос се наричат ​​съответнореалнаивъображаемаос.

Често е удобно да се разглежда и полярна координатна система в комплексната равнина, в която координатите на точка са разстоянието до началото (модул) и ъгълът на радиус вектора на точката (показан със синята стрелка на фигурата) с хоризонталната ос (аргумент). Вижте по-долу за подробности.

В тази визуализация сумата от комплексните числа съответства на векторната сума на съответните радиус вектори. При умножаване на комплексни числа техните модули се умножават и аргументите се събират. Ако модулът на втория фактор е равен на 1, тогава умножението по него геометрично означава завъртане на радиус вектора на първото число с ъгъл, равен на аргумента на второто число. Този факт обяснява широкото използване на комплексното представяне в теорията на вибрациите, където вместо термините "модул" и "аргумент" се използват термините "амплитуда" и "фаза".

4. Свързани определения

Нека е комплексно число, където и са реални числа. Числата или и или се наричат ​​съответнореалниивъображаеми(подобно на английскиreal, imaginary) частиz.

  • Акоx= 0, тогаваzсе наричавъображаемиличисто въображаем.
  • Акоy= 0, тогаваzе реално число.

4.1. Модул и аргумент

Модулът (абсолютната стойност) на комплексно число е дължината на радиус вектора на съответната точка от комплексната равнина (или, което е същото, разстоянието между точката на комплексната равнина, съответстваща на това число, и началото).

Модулът на комплексното числоzсе означава сzи се определя от израза . Често се обозначава с буквите или . Акоzе реално число, тогаваzсъвпада с абсолютната стойност на това реално число.

За който и да е, важат следните свойства на модула. :

1) и ако и само ако ;; 2) (неравенство на триъгълник); 3) ; 4) .

Третото свойство предполага , където . Това свойство на модула, заедно с първите две свойства, въвежда структурата на двумерно нормирано пространство над полето върху множеството от комплексни числа.

5) За двойка комплексни числаz1 иz2, модулът на тяхната разликаz1 −z2 е равен на разстоянието между съответните точки на комплексната равнина.

Ъгълът (в радиани) на радиус вектора на точката, съответстваща на числотоz, се наричааргументна числотоzи се означава с .

  • От това определение следва, че; ; .
  • За комплексна нула стойността на аргумента е недефинирана, за ненулево числоzаргументът се дефинира с точност до 2kπ, къдетоkе всяко цяло число.
  • Основната стойност на аргумента е такава стойност, че . Често основната стойност се означава с [3] . Главната стойност на аргумента на обратното число се различава по знак отизточник аргумент: .

4.2. Конюгирани числа

Ако комплексно числоz=x+iy, тогава се казва, че числото еконюгирано(или комплексно спрегнато) къмz(означено също сz* ). В комплексната равнина спрегнатите числа се получават чрез огледално отражение едно на друго около реалната ос. Модулът на спрегнатото число е същият като този на оригиналното число и техните аргументи се различават по знак.

Преминаването към конюгата може да се разглежда като една операция; Нека изброим неговите свойства.

  • (конюгатът към конюгата е оригиналът).

Обобщение: , къдетоp(z) е произволен полином с реални коефициенти.

5. Представяне на комплексни числа

5.1. Алгебрична форма

Записването на комплексно числоzкатоx+iy, , се наричаалгебрична формана комплексното число.

Сумата и произведението на комплексни числа могат да бъдат изчислени чрез директно сумиране и умножаване на такива изрази, както обикновено чрез отваряне на скоби и даване на подобни, за да се представи резултатът също в стандартна форма (обърнете внимание, чеi2 = − 1 ):

5.2. Тригонометрични и експоненциални форми

Ако реалнитеxи въображаемитеyчасти на комплексно число са изразени чрез модулаr=zи аргумента ( , ), тогава всяко комплексно числоz, с изключение на нула, може да бъде записано втригонометрична форма

Експоненциалнатаформа на нотация за комплексни числа, тясно свързана с тригонометричната чрез формулата на Ойлер, също може да бъде полезна:

където е разширението на степенния показател за случая на комплексен показател.

Това предполага следните широко използвани равенства:

5.3. Формула на Де Моавър и извличане на корени от комплексни числа

Тази формула ви позволява да повдигнете на цяло число ненулево комплексно число, представено в тригонометрична форма. Формулата на Де Моавър е:

Подобна формула е приложима и при изчисляване на коренитеnна ненулево комплексно число:

1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1." src="http://wreferat.baza-referat.ru/2_934408074-677.wpic" />

Обърнете внимание, чеnкорените на ненулево комплексно число винаги съществуват и техният брой еn. В комплексната равнина, както може да се види от формулата, всички тези корени са върховете на правиленn-ъгълник, вписан в окръжност с радиус с център в началото (виж фигурата).

За първи път, очевидно, въображаеми количества се появяват в известното произведение „Великото изкуство или за алгебричните правила“ на Кардано (1545), който ги смята за неподходящи за използване. Използването на въображаеми величини, по-специално, при решаването на кубично уравнение, в така наречения несводим случай (когато реалните корени на полином се изразяват чрез кубични корени на въображаеми величини), е оценено за първи път от Bombelli (1572). Той също така даде някои прости правила за работа със сложни числа.

Изразите на формата, които се появяват при решаването на квадратни и кубични уравнения, започват да се наричат ​​​​"въображаеми" през 16-17 век, но дори и за много видни учени от 17-ти век алгебричната и геометрична същност на въображаемите количества изглеждаше неясна. Лайбниц например пише: „Духът Божи намери най-тънкия изход в това чудо на анализа, изрод от света на идеите, двойствена същност, разположена между битието и небитието, която наричаме въображаем корен на отрицателната единица.“ [4]

Дълго време не беше ясно дали всички операции накомплексните числа водят до комплексни резултати или, например, извличането на корен може да доведе до откриването на някакъв нов тип числа. Проблемът за изразяване на корени от степенnот дадено число е решен в трудовете на De Moivre (1707) и Cotes (1722).

Символът е предложен от Ойлер (1777, публикуван. 1794), който взема първата буква от думата lat за това.imaginarius. Той също така разшири всички стандартни функции, включително логаритъма, до сложната област. Ойлер също изрази през 1751 г. идеята за алгебричното затваряне на полето от комплексни числа. D'Alembert (1747) стига до същото заключение, но първото строго доказателство за този факт се дължи на Гаус (1799). Гаус и въвежда термина „комплексно число“ през 1831 г., въпреки че терминът преди това е бил използван в същия смисъл от френския математик Лазар Карно през 1803 г.

Аритметичният модел на комплексните числа като двойки реални числа е конструиран от Хамилтън (1837); това доказа последователността на техните свойства. Хамилтън също предлага обобщение на комплексни числа - кватерниони, чиято алгебра е некомутативна.