Аксиоми на планиметрията
Историята на възникването на аксиоматичния метод. Аксиоми и основни понятия като основи на планиметрията, техните разновидности. Биография и история на писанията на Евклид. Лобачевски като велик български математик, създател на геометрията, обща характеристика на трудовете.
ученик от 7 клас
Из историята на аксиомите
Аксиоматичният метод се появява в древна Гърция и сега се използва във всички теоретични науки, предимно в математиката. Аксиоматичният метод за изграждане на научна теория е следният: разграничават се основните понятия, формулират се аксиомите на теорията и всички други твърдения се извеждат по логичен начин въз основа на тях. Основните понятия се разграничават, както следва. Известно е, че едно понятие трябва да се обясни с помощта на други, които от своя страна също се дефинират с помощта на някои добре познати понятия. Така стигаме до елементарни понятия, които не могат да бъдат дефинирани с други. Тези понятия се наричат основни. Когато доказваме твърдение, теорема, ние разчитаме на предпоставки, които се считат за вече доказани. Но тези предпоставки също бяха доказани, те трябваше да бъдат обосновани. В крайна сметка стигаме до недоказуеми твърдения и ги приемаме без доказателства. Тези твърдения се наричат аксиоми. Наборът от аксиоми трябва да бъде такъв, че разчитайки на него, човек може да докаже допълнителни твърдения. След като отделихме основните понятия и формулирахме аксиомите, извеждаме теореми и други понятия по логичен начин. Това е логическата структура на геометрията. Аксиомите и основните понятия формират основите на планиметрията. Тъй като е невъзможно да се даде едно-единствено определение на основните понятия за всички геометрии, основните понятия на геометрията трябва да се определят като обекти от всякакво естество, които отговарят на аксиомите на тази геометрия. ТакаПо този начин, при аксиоматичното изграждане на геометрична система, ние започваме от определена система от аксиоми или аксиоматика. Тези аксиоми описват свойствата на основните понятия на геометрична система и ние можем да представим основните понятия под формата на обекти от всякакво естество, които имат свойствата, посочени в аксиомите. След формулирането и доказването на първите геометрични твърдения, става възможно някои твърдения (теореми) да бъдат доказани с помощта на други. Доказателствата на много теореми се приписват на Питагор и Демокрит. На Хипократ от Хиос се приписва съставянето на първия систематичен курс по геометрия, основан на дефиниции и аксиоми. Този курс и неговите последващи обработки бяха наречени „Елементи“. След това, през III век. пр.н.е., в Александрия се появява едноименна книга на Евклид, в българския превод на „Начала”. От латинското наименование "Начала" идва терминът "елементарна геометрия". Въпреки че писанията на предшествениците на Евклид не са достигнали до нас, можем да съставим някакво мнение за тези писания от Елементи на Евклид. В "Началата" има раздели, които логично са много малко свързани с други раздели. Появата им се обяснява само с факта, че са въведени според традицията и копират "Началата" на предшествениците на Евклид. Елементи на Евклид се състои от 13 книги. Книги 1 - 6 са посветени на планиметрията, книги 7 - 10 са за аритметика и несъизмерими величини, които могат да бъдат построени с помощта на пергел и линейка. Книги от 11 до 13 бяха посветени на стереометрията. „Началата” започват с представяне на 23 дефиниции и 10 аксиоми. Първите пет аксиоми са "общи понятия", останалите се наричат "постулати". Първите два постулата определят действията с помощта на идеален владетел, третият - с помощта на идеален компас. Четвъртото, "всички прави ъгли са равни един на друг" е излишно, тъй катоможе да се изведе от останалите аксиоми. Последният, пети постулат гласи: "Ако една права пада върху две прави и образува вътрешни едностранни ъгли в сумата на по-малко от две прави, тогава при неограничено продължение на тези две прави те ще се пресичат от страната, където ъглите са по-малки от две прави." Петте „общи понятия“ на Евклид са принципите за измерване на дължини, ъгли, площи, обеми: „равните на едно и също нещо са равни помежду си“, „ако равните се добавят към равните, сумите са равни помежду си“, „ако равните се извадят от равните, остатъците са равни помежду си“, „комбинирайки се помежду си са равни помежду си“, „цялото е по-голямо от частта“. Тогава дойде критиката на геометрията на Евклид. Евклид беше критикуван по три причини: поради факта, че разглежда само такива геометрични величини, които могат да бъдат конструирани с помощта на пергел и линейка; за разбиването на геометрията и аритметиката и доказването за цели числа на това, което вече беше доказал за геометричните величини и накрая за аксиомите на Евклид. Петият постулат, най-трудният постулат на Евклид, е най-силно критикуван. Мнозина го смятат за излишно и че може и трябва да бъде извлечено от други аксиоми. Други смятат, че трябва да се замени с по-проста и по-илюстративна, еквивалентна на нея: „През точка извън права линия не може да се начертае повече от една права линия в тяхната равнина, която не пресича тази права линия.“
Критиката на пропастта между геометрията и аритметиката доведе до разширяване на концепцията за число до реално число. Споровете около петия постулат доведоха до факта, че в началото на 19 век Н.И. Лобачевски, J. Boyai и K.F. Гаус конструира нова геометрия, в която всички аксиоми на геометрията на Евклид са изпълнени, с изключение на петия постулат. То беше заменено с противоположното твърдение: "В равнина през точка извън права може да се начертае повече от една права, която не пресича дадената." Тази геометриябеше толкова последователна, колкото геометрията на Евклид. Планиметричният модел на Лобачевски върху евклидовата равнина е построен от френския математик Анри Поанкаре през 1882 г. Нека начертаем хоризонтална линия върху евклидовата равнина. Тази линия се нарича абсолютна (x). Точките на евклидовата равнина, лежащи над абсолюта, са точките на равнината на Лобачевски. Равнината на Лобачевски е отворена полуравнина, разположена над абсолюта. Неевклидовите сегменти в модела на Поанкаре са дъги от окръжности с център върху абсолюта или сегменти, перпендикулярни на абсолюта (AB, CD). Фигурата на равнината на Лобачевски е фигура на отворена полуравнина, лежаща над абсолюта (F). Неевклидовото движение е композиция от краен брой инверсии, центрирани върху абсолютната и аксиалната симетрия, чиито оси са перпендикулярни на абсолютната. Два неевклидови сегмента са равни, ако единият от тях може да бъде преместен в другия чрез неевклидово движение. Това са основните понятия на аксиоматиката на планиметрията на Лобачевски. Всички аксиоми на планиметрията на Лобачевски са последователни. Определението за права линия е следното: "Неевклидова права линия е полукръг с краища в абсолюта или лъч с начало в абсолюта и перпендикулярен на абсолюта." По този начин твърдението на аксиомата на Лобачевски за паралелизъм е валидно не само за някаква права и точка А, които не лежат на тази права, но също така и за всяка права и всяка точка А, която не лежи върху нея.Зад геометрията на Лобачевски възникват други непротиворечиви геометрии: проективна геометрия, отделена от Евклидовата, формира се многомерна евклидова геометрия, възниква Риманова геометрия ( обща теория на пространствата с произволен закон за измерване на дължините) и т.н. От науката за фигурите ах в едно триизмерно евклидово пространство, геометрията за 40 - 50 години се превърна в набор от различни теории, само внещо подобно на неговия прародител - геометрията на Евклид.
§ Каквато и да е правата, има точки, които принадлежат на тази права, и точки, които не й принадлежат.
§ Възможно е да се начертае права през всякакви две точки и само през една.
§ От трите точки на една права една и само една лежи между другите две.
§ Правата разделя равнината на две полуравнини.
§ Всеки сегмент има определена дължина, по-голяма от нула. Дължината на отсечка е равна на сумата от дължините на частите, на които е разделена от която и да е от неговите точки.
§ Всеки ъгъл има определена градусна мярка, по-голяма от нула. Правият ъгъл е 180 градуса. Градусната мярка на ъгъл е равна на сбора от градусните мерки на ъглите, на които той е разделен от всеки лъч, минаващ между страните му.
§ На всяка полуправа от началната й точка може да се начертае отсечка с дадена дължина и то само една.
§ От всяка полуправа до дадена полуравнина може да се отложи ъгъл с дадена градусна мярка, по-малка от 180 градуса, и то само един.
§ Какъвто и да е триъгълникът, има равен триъгълник на дадено място по отношение на дадената полуправа.
§ През точка, която не лежи на дадена права, в равнината може да се прекара най-много една права, успоредна на дадената права.
Други писания на Евклид
Евклид, син на Навкрат, известен с името "Геометър", учен от древни времена, грък по произход, сириец по местоживеене, първоначално от Тир. Една от легендите разказва, че цар Птолемей решил да учи геометрия. Но се оказа, че това не е толкова лесно да се направи. Тогава той се обади на Евклид и го помоли да му покаже лесен път към математиката. „Няма кралски път към геометрията“, отговори му ученият. И така, под формата на легенда, този израз, който стана популярен, достигна до нас. крал Птолемей Iза да прослави държавата си, привлича учени и поети в страната, създавайки за тях храм на музите - Мусейон. Имаше кабинети, ботаническа и зоологическа градина, астрономически кабинет, астрономическа кула, стаи за самотна работа и най-важното - великолепна библиотека. Сред поканените учени беше Евклид, който основа математическа школа в Александрия, столицата на Египет, и написа своя фундаментален труд за нейните ученици. Именно в Александрия Евклид основава математическа школа и написва голямо произведение по геометрия, обединено под общото заглавие „Елементи” – основното дело на живота му. Смята се, че е написана около 325 г. пр.н.е. Предшествениците на Евклид - Талес, Питагор, Аристотел и други са направили много за развитието на геометрията. Но всичко това бяха отделни фрагменти, а не единна логическа схема. Обикновено се казва, че Евклидовите Елементи след Библията са най-популярният писмен паметник на древността. Книгата има много интересна история. В продължение на две хиляди години това беше справочник за ученици, използван като начален курс по геометрия. Елементите бяха изключително популярни и много копия бяха направени от тях от усърдни писари в различни градове и страни. По-късно "Началата" се преместват от папирус на пергамент, а след това и на хартия. В продължение на четири века "Принципите" са публикувани 2500 пъти: средно 6-7 издания излизат годишно. До 20-ти век книгата "Начала" се смяташе за основен учебник по геометрия не само за училищата, но и за университетите. „Елементите” на Евклид са задълбочено проучени от арабите, а по-късно и от европейските учени. Преведени са на основните световни езици. Първите оригинали са отпечатани в Базел през 1533 г. Любопитно е, че първият превод на английски, датиращ от 1570 г.е направено от Хенри Билингуей, лондонски търговец. Познаването на основите на евклидовата геометрия сега е необходим елемент от общото образование в целия свят. В аритметиката Евклид прави три важни открития. Първо, той формулира (без доказателство) теоремата за деление с остатък. Второ, той излезе с "алгоритъма на Евклид" - бърз начин за намиране на най-големия общ делител на числа или обща мярка на сегменти (ако са съизмерими). И накрая, Евклид е първият, който изучава свойствата на простите числа - и доказва, че тяхното множество е безкрайно.
Други математически постижения
Лобачевски получи редица ценни резултати в други клонове на математиката: например в алгебрата той разработи нов метод за приблизително решаване на уравнения, в математическия анализ получи редица фини теореми за тригонометрични серии, усъвършенства концепцията за непрекъсната функция и т.н.
1. Самин Д. К. 100 велики учени
2. Диоген Лаерт. За живота, ученията и изказванията на известни философи. - М.: Наука, 1995.
3. Дягилев Ф.М. Из историята на физиката и живота на нейните създатели. - М.: Наука, 1986.
4. Pidow D. Геометрия и изкуство. - М.: Наука, 1979.
5. Смышляев В.К. За математиката и математиците. - Йошкар-Ола: Наука, 1977.