Цели числа
1. Множеството от цели числа. свойства и операции.
2. Теореми за делимост.
3. Деление с остатък.
Множеството от цели числа е естествените числа, техните противоположности и нулата.
Свойства на целите числа (Z).
1. Множеството от цели числае затворено по отношение на операциите събиране, изваждане, умножение: това означава, че резултатът от посочените операции върху цели числа също принадлежи към множеството от цели числа.
2.Дискретно: за всяко цяло число можете да посочите следващото, няма цяло число между две съседни цели числа.
3. Подредено: за всякакви цели числа можете да зададетеотношението на реда ( a>b, a 2 2 2 , 195=3 1 5 1 13 1 .
Задача
Колко делителя има едно естествено число, ако каноничното му разлагане има формата n = ?
Пример 60 = 2 2 3 1 5 1
Нейните делители са 1, 2, 3,4, 5, 6, 10, 12,15,20, 30, 60 - общо 12.
Как да преброим броя на делителите, без да ги изброяваме?
Броят на опциите (начините) за въвеждане на делителите на дадено число на делител с основа 2 е само три:
1 - изобщо няма такъв делител,
Броят на вариантите (начините) за въвеждане на делителя с основа 3 е общо 2
1 - изобщо няма такъв делител,
Броят на опциите (начините) за въвеждане на делител с основа 5 е общо 2
1 - изобщо няма такъв делител,
Всяка от първите три опции може да се комбинира с всяка от вторите две, за общо 3·2=6. Всяка от тези 6 опции може да се комбинира с всеки от двата начина, по които числото 5 влиза в делителите на това число, общо получавате 3 2 2 = 12.
Подобно доказателство в общ вид води до следния резултат:
Броят на възможните делители на числоn = равно
Теорема за безкрайността на поредица от прости числа
Няма най-голямо просто число.
Доказателство
Да предположим, че p е най-голямото просто число.
Да разгледаме числото 2 3 5 ... p + 1 - това число или само по себе си е просто, по-голямо от p, или се дели на просто число, което не се съдържа сред числата
2, 3, 5, …,p и следователно p е по-голямо. Получихме противоречие, доказващо теоремата.
Комуникация между GCD и NOC.
О означава gcd( a; b) = d, lcm(a; b)= m.
Тъй като LKK( a; b) = m, тогава m = a1 d b1, тогава a b = a1 d b1 d = m d.
Така gcd(a;b) LCM(a;b)= ab.
Теореми за делимост
1. Ако a : m, b : m, тогава (a + b ): m, (a -b ): m.
2. Ако a : m, b : n, то a b: mn.
3. Ако a : m, a n : m n .
4. Ако сумата от няколко члена се дели на m и е известно, че всички членове с изключение на един се делят на m, тогава останалият член също се дели на m.
5. Ако поне един от множителите на произведението се дели на m, то произведението също се дели на m.
Докажете, че произведението n(n+1)(n+2) се дели на 6 за всяко положително цяло число n.
Доказателство
Ако n е нечетно, тогава n + 1 е четно, следователно продуктът се дели на 2. Ако n не е кратно на 3 (което означава, че когато се раздели на 3, дава остатък от 1 или 2), тогава n + 2 или n + 1 е кратно на 3. По този начин продуктът n (n + 1) (n + 2) се дели на 2 и 3 и тъй като тези числа са взаимно прости, тогава е делимо на 6.
Признаци за делимост
1. За да се дели едно естествено число на 3(9), е необходимо и достатъчно сборът от цифрите на това число да се дели на 3(9).
2. За да може едно естествено число да се дели на 11, е необходимо и достатъчно разликата между сбора на цифрите на товаброят на тези на четните места и сумата от цифрите на това число на нечетните места се дели на 11.
3. За да се дели едно естествено число на 4, е необходимо и достатъчно числото, образувано от последните две цифри на това число, да се дели на 4.
Ако числото p се дели на 11, то вторият член (an (-1) n + an-1 (-1) n -1 + an-2 (-1) n -2 +…..+ a1 (-1) 1 + a0 ) от сумата се дели на 11 и обратно: за да се дели числото p на 11, достатъчно е този член да се дели на 11.
Вторият член на сумата в зависимост от четността или нечетността на n
е разликата между сбора от цифрите на това число на четни места и сбора от цифрите на това число на нечетни места.
4. Ако едно число се дели на 1001, то се дели на 7, 11, 13.
Деление с остатък