Диофантови уравнения

Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование

Липецк държавен педагогически университет

Резюме по темата:

Диофант и историята на диофантовите уравнения.

Диофантични уравненияения (по името на древногръцкия математик Диофант), алгебрични уравнения или системи от алгебрични уравнения с цели коефициенти, имащи повече неизвестни от броя на уравненията и за които се търсят цели или рационални решения. Концепцията на D. at. разширени в съвременната математика: това са уравнения, чиито решения се търсят в алгебрични числа. Д. при. се наричат ​​още неопределени.

Диофант е една от най-интересните загадки в историята на математиката. Не знаем кой е Диофант, точните години от живота му, не знаем неговите предшественици, които биха работили в същата област като него.

На гроба на Диофант има стихотворение-гатанка, решаването на което е лесно да се изчисли, че Диофант е живял 84 години. Можем да съдим за времето на живота на Диофант от трудовете на френския изследовател на науката Пол Танри и това вероятно е средата на 3 век от н.е.

"Аритметика" на Диофант е колекция от задачи (общо 189), всяка от които е снабдена с решение и необходимото обяснение. Колекцията включва много разнообразни задачи, а решението им често е изключително гениално. Диофант практикува намирането на решения на неопределени уравнения от формата или системи от такива уравнения. Типично за Диофант е, че се интересува само от положителни цели и рационални решения. Той нарича ирационалните решения „невъзможни“ и внимателно подбира коефициентите, така че да се получат желаните положителни, рационални решения.

Затова обикновенопроизволно неопределено уравнение (но, като правило, все още с цели коефициенти) получава заглавието "диофантово", ако искат да подчертаят, че трябва да се решава в цели числа.

Неопределените уравнения от 1-ва степен започват да се разглеждат от индуските математици по-късно, от около 5-ти век. Някои от тези уравнения с две и три неизвестни се появяват във връзка с проблеми, възникнали в астрономията, например при разглеждане на въпроси, свързани с определяне на периодичното повторение на небесни явления.

Първото общо решение на уравнение от първа степен, където са цели числа, е намерено у индийския мъдрец Брахмагупта.

Следователно, строго погледнато, няма причина линейните неопределени уравнения да се наричат ​​диофантови. Въпреки това, исторически, все пак се е развило да се прилага терминът "диофантинова" към всяко уравнение, което се решава в цели числа.

Диофант започва с основни определения и описание на буквените символи, които ще използва.

В класическата гръцка математика, намерила своята кулминация в Елементите на Евклид, под числото άριJμός - "arithmos" или "arithmos"; оттук и името "аритметика" за науката за числата) се разбираше като набор от единици, т.е. цяло число. Нито дробите, нито ирационалността се наричаха числа. Строго погледнато, в Елементите няма дроби. Единицата се счита за неделима и съотношенията на цели числа се разглеждат вместо дроби на единицата; ирационалностите се появяват като съотношения на несъизмерими сегменти, например числото, което сега обозначаваме √2 за гърците от класическата епоха, е съотношението на диагонала на квадрат към неговата страна. Не се споменаваха отрицателни числа. За тях нямаше еквиваленти. Съвсем друга картина откриваме при Диофант.

Диофант дава традиционното определение на числото катонабори от единици, но в бъдеще той търсиположителни рационалнирешения за своите проблеми и нарича всяко такова решение число (άριJμός - "аритмос").

Но въпросът не се ограничава до това. Диофант въвежда отрицателните числа: той ги нарича със специалния термин λει̃ψις - "leipsis" - произлизащ от глагола λει̃πω - "leipo", което означава липса, липса, така че самият термин може да се преведе с думата "липса". Положително число Диофант нарича думата ΰπαρξις - "iparxis", което означава съществуване, битие, а в множествено число тази дума може да означава собственост или собственост. Така терминологията на Диофант за относителни числа е близка до използваната през Средновековието на Изток и в Европа. Най-вероятно това е просто превод от гръцки на арабски, санскрит, латински и след това на различни езици на Европа.

Обърнете внимание, че терминът λει̃ψις - "leipsis" - не може да се преведе като "изваждащ се", както правят много преводачи на Диофант, тъй като Диофант използва напълно различни термини за операцията на изваждане, а именно άφελει̃ν - "afelein" или άφαιρει̃ν - "afai rhine", които произлизат от глагола άφαιρεω - "afireo" - отнемам. Самият Диофант, когато преобразува уравнения, често използва стандартния израз „нека добавим към двете страни на λει̃ψις „leipsis“.

Няма да се отклоним от истината, ако преведем термините на Диофант като "положителен" и "отрицателен".

Диофант формулира правилото за знаците за относителните числа:

"отрицателно умножено по отрицателно дава положително, докато отрицателно по положително дава отрицателно, а отличителният знак за отрицателното е - обърната и съкратена (буква) ψ."

"Следслед като ви обясних умножението, става ясно и разделянето на предложените членове; сега ще е добре да започнем упражнения за събиране, изваждане и умножение на такива членове. И положителните и отрицателните членове с различни коефициенти се добавят към други членове, които са или положителни, или еднакво положителни и отрицателни, и се изваждат от положителните членове и други отрицателни членове други положителни и също така положителни и отрицателни.

Обърнете внимание, че въпреки че Диофант търси само рационални положителни решения, той охотно използва отрицателни числа в междинните изчисления.

По този начин можем да отбележим, че Диофант разширява областта на числата до областта на рационалните числа, в която всичките четири аритметични операции могат да се извършват безпрепятствено.

В „Аритметика” за първи път срещаме и буквената символика. Диофант въвежда следната нотация за първите шест степениx,x2 , . ,x6 неизвестенx:

първата степен е ς;

втората степен - Δ υ̃ от Δύναμις - "dunamis", което означава сила, степен;

третата степен - Κ υ̃ от Κύβος - "кубос", т.е. куб;

четвърта степен - Δ υ̃ Δ от Δύναμοδύναμις - "дунамодюнамис", т.е. квадрат-квадрат;

пета степен - ΔΚ υ̃ от Δύναμοκύβος - "дунамокубос", т.е. квадратен куб;

шестата степен - Κ υ̃ Κ от Κύβοκύβος - "кубокубос", т.е. кубичен куб

Свободен член, илиx0, Диофант, обозначен със символа

тези. първите две букви на думата μονάς са “monas”, което означава единство.

Той въведе специален знак за отрицателния показателxи по този начин успя да обозначи първите шест отрицателни степени на неизвестното. Например,x-2 ,x-3 той обозначава съответно Δ υ̃ , Κ υ̃ .

И така, Диофант имаше символика за обозначаване на едно неизвестно и неговите положителни и отрицателни степени до шестата. Той не въведе обозначение за второто неизвестно, което много затрудни решаването на задачи. Понякога, по време на една задача, символът ς може да означава едно или друго неизвестно число. В допълнение към тези символи Диофант използва знак за неопределен квадрат. Например, ако според условието на задачата произведението на две числа в сбора с едно от тях трябва да е равно на квадрат, то този последен квадрат е записан с

Освен това Диофант излага правилата за умножаване наxmпоxnза положителни и отрицателниmиn(m≤ 6,n≤ 6).

За равенство Диофант използвал знака ΐσ - първите две букви от думата ΐσος - "isos", т.е. равен. Всичко това му дава възможност да получи буквалния запис на уравнението. Например уравнението

202x2 + 13 – 10x= 13

той пише така:

Δυ̃ σβΜ ιγςιΐσ Μιγ

Освен това във „въведението“ са формулирани правилата за преобразуване на уравнения: добавяне на равни членове към двете части на уравнението и намаляване на подобни членове. И двете правила впоследствие стават широко известни под арабизираните имена "aljebr" и "almuqabala".

Виждаме, че въпреки че геометричните термини „квадрат“, „куб“ все още се използват при назоваване и обозначаване на степени на неизвестното (което, между другото, е оцеляло и до днес), обаче, когато съставя уравнения, Диофант спокойно добавя квадрат или куб със страна, т.е. ги тълкува не като геометрични изображения, а като числа.

Нещо повече, той намира за възможно въвеждането на "площади", "площади" и т.н., разбира се, по никакъв начинсвързвайки ги с пространства с по-голям брой измерения, т.е. той използва геометрична терминология само поради установената традиция.

Така тук се срещаме с напълно нова конструкция на алгебрата, която вече не се основава на геометрията, както беше при Евклид, а на аритметиката. Това обаче не е просто връщане към числовата алгебра на Вавилон, а началото на изграждането на буквална алгебра, която най-накрая намира своя присъщ език при Диофант.

Диофант в книга II на своята „Аритметика“ разглежда различни неопределени уравнения от втори ред и установява по същество следната теорема:неопределено уравнение от втори ред в две променливи или няма нито едно рационално решение, или има безкраен брой от тях, като в последния случай всички решения се изразяват като рационални функции на параметър

къдетоφиψ сарационални функции.

За да покажем това, нека първо представим задача 8 от книга II.

„Разделете този квадрат на два квадрата10).

Нека се предложи да се раздели 16 на два квадрата. И нека поставим първотоx2 , а след това другото ще бъде 16 -x2 ; така трябва да бъде

Формираме този квадрат от няколкоxминус толкова единици, колкото се съдържат в страна 16; нека бъде 2x- 4, което на квадрат ще даде

Добавяме отрицателни (членове) към двете части и правим редукция на подобни. Тогава

Единият ще бъде 256/25, другият 144/25, сумата от тях ще бъде 400/25 = 16 и всеки от тях ще бъде квадрат.

---