Доказателство - последователност - Голямата енциклопедия на нефта и газа, статия, страница 3
Доказателство - последователност
Достатъчно е да посочим например елегантните доказателства на Лукасевич за последователността и независимостта на системата от силогични аксиоми и целия комплекс от логически изследвания във връзка с решението на проблема за разрешимостта. Изследването на Лукасевич върху асерторичната силогистика завършва точно с решението на този проблем, тоест с доказателството за съществуването на такива групи аксиоми и правила за извод, които позволяват да се каже по отношение на всеки смислен израз на силогистиката дали той се приема за верен или се отхвърля като неверен. [31]
Това не означава, че не могат да бъдат намерени други начини за доказване на последователността на аритметиката. Наистина, Gentzen 10 го доказа, но неговите методи се основават на трансфинитна индукция. Няма да обяснявам тук какво представлява, но въпросът за консистенцията на самата трансфинитна индукция остава открит. [32]
Интересно е да се отбележи, че както в случая с доказателството на Генцен за съгласуваност чрез трансфинитна индукция към e0, анализът на доказателството за съгласуваност, който разглеждаме, показва, че в единствената си неелементарна стъпка то зависи от използването на предикат, определен чрез индукция, чиято индукционна стъпка включва квантори от двата вида, а именно, тук говорим за предиката на истината за аритметични формули. Сега ще дефинираме този предикат. [33]
Дискусията за разширяването на крайната гледна точка завършва с разглеждане на доказателството на Генцен за последователността на аритметичния формализъм. [34]
Но за споменатата част от аритметичния формализъм получаваме не само доказателството за последователност на , но и цялата ни n-теорема 4) в нейната цялост.[35]
По този начин, разчитайки на нашата np-теорема, получаваме необходимото доказателство за последователност за геометричните аксиоми за връзка, ред, конгруентност и паралелните аксиоми, формулирани по-горе. [36]
Но логическите проблеми, свързани с въпроси за парадокси и доказателства за последователност и пълнота, имат смисъл не само от гледна точка на елиминиране на трудностите при обосноваването на математиката. Имайте предвид, че горното описание на изграждането на научна теория под формата на логически формализъм, съдържащ не само система от аксиоми, но и правилата за формиране на понятия и извеждане на следствия, се нуждае от известно пояснение. По-правилно би било да се каже следното: ако в старото разбиране на формалната дедуктивна теория беше формулирана само първата стъпка - стъпката на индукцията: бяха дадени първоначалните понятия и изречения, сега е формулирана и последната: даден е методът, как, вече имайки определен запас от въведени понятия и доказани изречения, да се получат нови с тяхна помощ. Този индуктивен метод за изграждане на съвременна формално-дедуктивна теория дава възможност да се изследва съвкупността от нейните концепции и предложения и по този начин да се изяснят границите на нейните възможности и естеството на по-нататъшното развитие, необходимо за преодоляване на това ограничение. От това вече виждаме, че създаването на обща теория на дедуктивните формализми също е продиктувано от непосредствените нужди на математиката. [37]
С оглед на тази аналогия възниква следният въпрос: ако можем да намерим доказателство за последователност в хилбертовия смисъл за част от класическата математика, съдържаща както реални, така и идеални изречения, тогава бихме могли да заключим, че реалните изречения, доказани с идеални изречения, са интуиционистично верни. Въпросът е доколко може да се стигне до такъв изводще разгледаме по-късно (края на § 42, края на § 82); това ще зависи от това кои разсъждения са обхванати от доказателството за последователност и кои предложения се приемат за валидни. Доколкото това заключение би било възможно, успешното прилагане на програмата на Хилберт би позволило прилагането на класическата математика в интуиционистичните доказателства. [38]
Гьодел, от друга страна, показа безполезността на подобни търсения и доказа алгоритмичната неразрешимост на проблема за доказване на последователността на аритметичната логика. По този начин, в своята теорема за непълнотата, Гьодел показа, че има безкраен брой проблеми в елементарната теория на числата, които не могат да бъдат решени с нито един даден аксиоматичен метод. [39]
Трябва да се подчертае, че в постановлението доказателствата са за доказване на последователността на системата от аксиоми. [40]
Нека сега разгледаме от интуиционистка гледна точка как следствие 2 от теорема 60 предоставя доказателство за последователност за класическата елементарна аритметика. Втората част от това доказателство се състои в изрична или неявна проверка, че една интуиционистка формална система за аритметика е интуиционистично правилна. [42]
Доказателствата за последователност на системи от геометрични аксиоми, очертани тук, показват, че можем доста добре да използваме идеите на обичайните доказателства за последователност, получени чрез редукция до аритметика. [43]
Нотацията, използвана за този вид формализация на математиката, както и съответният общ подход и първите опити за доказване на последователност, принадлежат на самия Хилберт. [44]
Първият резултат показва, че не всеки проблем е разрешим дори по принцип, вторият напълно зачерква програмата, предложена от Хилбертдоказателство за последователност. [45]