Достъп до тялото
Теоремата на Кеплер-Поансо върху звездовидни полиедри в снимки
В геометрията има няколко чудесни класификационни теореми - теореми, които намаляват многообразието на някои обекти до краен набор от основни. Започваме поредица от материали, посветени на тези теореми. Първата в нашия списък е една не толкова популярна теорема, известна като теоремата на Кеплер-Поансо. Посветена е на така наречените звездообразни полиедри.
Преди да говорим за тела на Kepler-Poinsot, трябва да обсъдим концепцията за правилен звезден многоъгълник. Обикновен правилен многоъгълник е многоъгълник, тоест затворена начупена линия без самопресичане, в която всички връзки и всички ъгли са равни. Лесно е да се покаже, че правилните многоъгълници могат да бъдат само изпъкнали.
Нека сега вземем, например, правилен петоъгълник и продължим страните му до следващото пресичане една с друга. Вземете звезда с пет лъча. Такава звезда е полилиния със самопресичания, чиито връзки са равни една на друга, както и ъглите (в този случай само ъглите при върховете на лъчите ще бъдат ъглите на полилинията - ъглите вътре не се вземат предвид).
Илюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Венцел Ямницер 1568 г.
Сега вземете правилен шестоъгълник и продължете страните му. Резултатът е хексаграма, известна още като звездата на Давид. За разлика от петолъчката, тя не се състои от една прекъсната линия, а от два правилни триъгълника.
Въз основа на тези два примера можем да дадем следната дефиниция на правилен звезден многоъгълник: една или повече прекъснати линии, евентуално със самопресичане, в които всички връзки и ъгли са равни, а върховете са разположени във върховете на правилен многоъгълник. Ако има само една прекъсната линия, тогава звездният многоъгълник се нарича прост, ако има няколко - сложен.
Пет правилни платонови тела
Илюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Венцел Ямницер 1568 г.
Един и същ полигон може да породи няколко звездни полигона. Например страните на седмоъгълник могат да бъдат продължени до следващата след първоначалното им пресичане една с друга или можете да продължите през една. Това съответства на две различни звезди: едната може да се получи чрез свързване на върховете на правилен седмоъгълник през един връх, а втората - чрез два. И двата звездни полигона в този случай, между другото, са прости.
Съединението от пет тетраедъра е 12-тата звезда на икосаедъра.