Две стъпки на най-малките квадрати
Всяка икономическа система е сложна система с много входове, изходи и сложна структура от взаимовръзки на показатели, характеризиращи дейността на тази система. Следователно, за да се опише механизмът на функциониране на такива системи, обикновено не са достатъчни изолирани регресионни уравнения.
На практика промяната на който и да е показател в икономическата система по правило води до промяна на редица други. Така промяната в производителността на труда влияе върху разходите за труд и следователно върху разходите, печалбата, рентабилността на производството и т.
Всичко това налага използването на системи от взаимосвързани регресионни уравнения и тъждества при описанието на сложни икономически явления и процеси. Особено актуална е необходимостта от използване на такива системи при моделиране на макро ниво, тъй като макроикономическите показатели, като общи индикатори за състоянието на икономиката, най-често са взаимозависими. Например, когато се изгражда модел на национална икономика, е необходимо да се вземат предвид уравнения, които описват потреблението, инвестициите, растежа на капиталовите инвестиции, възпроизводството на трудовите ресурси, производството на продукт и др.
Променливите, включени в системата от уравнения, се разделят наекзогенни,ендогеннии лаг (ендогенни променливи, чието влияние се характеризира с известно забавяне, забавяне във времето).
Екзогенните и лаг променливите се наричат предварително определени, тоест определени предварително.
НекаXе набор от фактори на иконометричния модел, някои от които могат да бъдат ендогенни, някои екзогенни. Нека също така е даден набор от променливи, екзогенни за моделаZ(някои от тях могат да участват в модела, а други не). Броят на инструментите трябва да бъдене по-малък отброя на началните фактори на модела.
Двуетапната OLS процедура е както следва:
Стъпка 1. Обикновените най-малки квадрати оценяват регресията на факторитеXвърху инструментите. Оценките на параметрите за този модел очевидно са равни на:
.
В резултат на това получаваме следните оценки на оригиналните променливи:
Стъпка 2. На втория етап първоначалният модел се оценява (също чрез обичайните най-малки квадрати), като факторите на модела се заменят с техните оценки, получени на първата стъпка:
Като се има предвид, че най-накрая получаваме формулата за оценка на най-малките квадрати от две стъпки:
Ако ковариационната матрица на случайните грешки на модела е пропорционална на единица, т.е. текущата ковариационна матрица на тези оценки е равна на
Основната идея на DMNC е следната:
- въз основа на дадената форма на модела, получете за свръхидентифицираното уравнение изчислените стойности на ендогенните променливи, съдържащи се в дясната страна на това уравнение;
- Чрез заместване на изчислените стойности на намерените ендогенни променливи вместо действителните стойности, може да се приложи обичайният метод на най-малките квадрати към структурната форма на свръхидентифицираното уравнение.
Методът се наричадвустъпков LSM, защото LSM се използва два пъти:
- на първата стъпка при определяне на параметрите на редуцираната форма на модела и намиране на тяхна основа на оценки на изчислените стойности на ендогенни променливи;
- на втората стъпка във връзка със структурното свръхидентифицирано уравнение, когато вместо действителните стойности на ендогенните променливи се вземат предвид техните изчислени стойности, намерени в предишната стъпка.
Свръх идентифицираният структурен модел може да бъде два вида:
- всички уравнения на системата са свръхидентифицируеми;
- системата съдържа, наред със свръхидентифицираните уравнения, точно идентифицирани уравнения.
Ако всички уравнения на системата са свръхидентифицируеми, тогава заоценяването на структурните коефициенти на всяко уравнение се използва от DMNC. Ако в системата има точно идентифицируеми уравнения, тогава структурните коефициенти могат да бъдат намерени от тях на базата на индиректни най-малки квадрати. Методът на две стъпки, приложен към точно идентифицирани уравнения, дава същия резултат като косвения метод на най-малките квадрати.
(1)
Системата е свръхидентифицируема:първото уравнение може да бъде идентифицирано, а второто уравнение е свръхидентифицируемо.Следователно могат да се използват индиректни най-малки квадрати за определяне на коефициентите на първото уравнение и две стъпки на най-малките квадрати за второто уравнение.