Екзотично кълбо
Съдържание
Свързана сума от две екзотичниn-измерни сфери също е екзотична сфера. Операцията за свързана сума трансформира различни гладки структури върху ориентиранаn-измерна сфера в моноид, нареченмоноид на екзотични сфери.
Групата от екзотични сфери е изоморфна на групата Θnот ориентирани класовеh-кобордизъм на хомотопичнатаn-сфера. Тази група е крайна и абелева.
Въпросът за съществуването на такова многообразие се нарича проблем на Кервер. Към 2012 г. не е решен само случай n = 126 . Многообразия с инварианта на Kervaire 1 бяха конструирани в размери 2, 6, 14, 30 и 62.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 | 3 | 2 | 16256 | 2 | 16 | 16 | 523264 | 24 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 1 | 2 | 1 | 992 | 1 | 1 | 1 | 8128 | 1 | 2 | 1 | 261632 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2×2 | 6 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2×2×2 | 8×2 | 2 | 24 |
| 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2×2 | 6 | 1 | 1 | 3 | 2×2 | 2 | 2 | 2×2×2 | 8×2 | 2 | 24 |
| - | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - |
Допълнителни стойности в тази таблица могат да бъдат изчислени от информацията по-горе заедно с таблица на стабилни хомотопични сферични групи.
Така наречениятGluck twistсе състои в изрязване на тръбна съседство на 2-сфератаS2 вS4 и поставянето му обратно с помощта на дифеоморфизъм на неговата граница S 2 × S 1 \times S^> . Резултатът винаги е хомеоморфен наS4, но в повечето случаи не е известно дали е дифеоморфен наS4.
С други думи, многообразието се нарича претъпкана сфера, ако допуска функция на Морз с точно две критични точки.
- Заn≠ 4 всяка екзотична сфера е дифеоморфна на някаква усукана сфера.
- Заn= 4 всяка усукана сфера е дифеоморфна на стандартна.