Формули на пропозиционалната алгебра - Studiopedia

Буквите, обозначаващи пропозиции, логически връзки и скоби, съставятазбукатана езиците на пропозиционалната логика: алгебра на логиката и пропозиционално смятане.

Израз, съставен от предложение и съединителна нотация, е логическа формула, ако:

- всяка променлива, обозначаваща твърдение - формула;

също са формули;

- няма други формули, освен тези, конструирани по правилата на предходните два параграфа.

Пример.Представете следното сложно твърдение като логическа формула:С- „Ако вали, значи покривите са мокри. Няма дъжд, а покривите са мокри.”

Съставният изразCвключва два прости израза:A -"Вали",B -"Покривите са мокри". В първото изречение „Ако вали, значи покривите са мокри“, твърдениятаAиBса свързани чрез връзката „ако ..., тогава“: . Във второто изречение „Няма дъжд, но покривите са мокри“, съюзът „а“ има значението на връзката „и“, освен това твърдениетоAтрябва да се приема с отрицание:. За да напишем твърдениетоСкато формула, остава да комбинираме горните твърдения в едно с куп „и”:С= .

Подформулана формула е всяка част от нея, която сама по себе си е формула.

Една формула се наричаудовлетворима (опровержима), ако има такъв набор от твърдения, които превръщат тази формула в вярно (невярно) предложение.

Една формула се наричаидентично вярна,илитавтология (идентично невярна,илипротиворечие),ако се превърне в вярно (невярно) твърдение за всички набори от стойности на променливи.

Пример.Използвайки таблици на истинност, определете кои са формулите и .

Нека направим таблици на истината за всяка формула:

p	r		(pÙr)
И	И	L	И	И	L	И
И	L	L	L	И	И	И
L	И	И	L	L	И	И
L	L	И	L	L	И	И

И така, формулата е изпълнима и формулата е тавтология.

Тавтологиите играят важна роля в логиката, някои от тях се основават на методи на логическо разсъждение. От друга страна, свойствата на логическите операции се изразяват и чрез тавтологии.

Теорема (свойства на операцията конюнкция и дизюнкция).

Следните формули са тавтологии:

1) закони на идемпотентност:

2) закони на комутативността:

3) закони за асоциативност:

4) закони за абсорбция:

5) Законите на Де Морган:

Доказателство. Нека докажем, че формулите за идемпотентност са тавтологии.

X
И	И	И	И	И
L	L	L	И	И

Според последните две колони виждаме, че формулите се превръщат в вярно твърдение за всички набори от стойности на променливи, т.е. са тавтологии.

ФормулитеХиYсе наричат ​​еквивалентни,илиеквивалентни(нотация), ако за всякакви стойности на променливи логическите стойности, получени от формулитеИзявлениятаXиYса еднакви.

Например, лесно е да се установи от таблицата на истината, че .

Забележка.Необходимо е да се прави разлика между символите "=" и "". Символът "" е символ на логическата операция на формалния език (това е необходимо и достатъчно). Символът "=" не принадлежи към азбуката на езика на пропозиционалната логика и говори за еквивалентност на формулите по отношение на тяхната оценка за истинност.

Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:

Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо

---