ФРАКТАЛНО МОДЕЛИРАНЕ В „ЖИВА ГЕОМЕТРИЯ”, Социална мрежа на педагозите
Използването на четвъртата версия на "Geometry на живо" ви позволява да симулирате повечето от известните класически фрактали. В тази работа се опитахме да симулираме добре познатите фрактали - "Килим "Сиерпински", "Снежинка" Кох "и други фрактали.
| fraktalnoe_modelirovanie.doc | 494 KB |
GBOU лицей 1575
Автори на произведението: Андрей Казаков, Валери Кантемиров, ученици от 9-ти "Б" клас, лицей № 1575
ФРАКТАЛНО МОДЕЛИРАНЕ В „ЖИВА ГЕОМЕТРИЯ“
Математиката е прототип на красотата на света.
Уместност. Популярността на фракталните теми е добре известна. Фракталните картини днес са трудни за изненада. Алгоритмите за тяхното конструиране се основават на доста прости рекурсивни процедури. Въпреки това, почти всички известни фрактални картини, представени в Интернет, са направени с помощта на специално написани програми, които изискват солиден опит в работата с такива системи за визуално програмиране като Visual Basic, Delphi, C ++, Java и др., Които са доста трудни за учениците в 7-9 клас. От друга страна, инструменталните системи за геометрично моделиране като "Жива геометрия" и свързаната с нея домашна система "Математически конструктор 1 C" набират все по-голяма популярност в училище, с което учениците в 7-9 клас работят с голямо удоволствие. Доскоро в тези пакети нямаше рекурсивни механизми. Ситуацията се промени след пускането през 2008 г. на четвъртата версия на "Жива геометрия", където в набора от функции на менюто "Трансформации" се появи допълнителна процедура "Итерация", която също ви позволява да извършвате фрактални конструкции. ДА СЕза наша изненада, досега тази възможност остава малко известна. Във всеки случай не намерихме в интернет примери за изпълнение на фрактални конструкции с помощта на "Жива геометрия".
Хипотеза. Използването на четвъртата версия на "Live Geometry" ви позволява да моделирате повечето от известните фрактални обекти без необходимост от изрично програмиране. Достатъчно е да можете да дефинирате и прилагате рекурсивни алгоритми.
Цели и задачи. В този проект се опитахме да моделираме добре познати фрактали като "килим на Сиерпински", "снежинка на Кох", "дракон на Хартър-Хейтуей", "папрат", "дърво" с помощта на "Жива геометрия".
Резултат. Уверихме се, че всички известни типове фрактали могат бързо да бъдат моделирани в Live Geometry с помощта на функцията Iteration, както и други добре познати функции от предишни версии на пакета, като Homothety, Translation, Rotation, Reflection и User Tool.
Геометрични фрактали – основни понятия
Характерна черта на всички фрактали е тяхното самоподобие. Всяка част от фрактала е подобна на цялото му изображение. Фракталът като че ли се състои от собствени гени, чиято форма съвпада с пълния му образ. Именно самоподобието на фракталите привлича с връзката си с дивата природа. Основната класификация на фракталите в три типа е добре известна: разграничават се алгебрични, геометрични и стохастични фрактали. Всъщност всички фрактали се изобразяват като геометрични обекти. Горната типология на фракталите се основава на три различни начина за тяхното генериране.
Алгебричните фрактали са резултат от итерация (преизчисляване) на функция с две променливи, в резултат на което от първичните се генерират точки с нови координати. Най-екзотичното (абстрактно)по този начин се получават фрактали на Манделброт и Юлия, докато броят на итерациите (повторенията) достига десетки хиляди. Няма да говорим повече за този клас фрактали в този проект.
Следващият най-достъпен и популярен клас фрактали е геометричният. Всички представители на този клас са изградени по най-простия принцип. Първо се задава геометрична първична система (обикновено от точки), прототипът е инициатор. След това се конструира вторично изображение - генератор, обикновено под формата на някакъв алгоритъм за преобразуване на прототипа в нова форма. Освен това този алгоритъм е едновременно генератор на всички следващи "потомци". Тази процедура се повтаря (итерира) за следващото следващо изображение („дете“) на предобраза „родител“. По-голямата част от известните геометрични фрактали имат много прости прототипи, които се състоят от две или три точки. Такива са всички видове фрактални дървета, папрат, които се определят само с две точки, килим Sierpinski и дракон на Harter-Hateway с три точки.
Именно това обстоятелство ни позволява да се обърнем към моделирането на геометрични фрактали с помощта на наличния геометричен пакет "Жива геометрия". За наша изненада не намерихме вече завършени проекти за моделиране на геометрични фрактали с помощта на Live Geometry в Интернет, въпреки че има повече от достатъчно от всички видове програми, написани на Pascal, Delphi, C, Java. Имайте предвид, че има много резюмета по фрактални теми, но най-вече те използват готови примери без собствено моделиране.
В рамките на този проект се опитахме да демонстрираме възможностите на "Живата геометрия" по отношение на моделирането на известни фрактали на ниво 7-9 клас.
Функции на инструмента„Жива геометрия” при изграждането на геометрични фрактали
Повечето начинаещи потребители са ограничени само до "видимите" функционални бутони: "Точка", "Сегмент", "Кръг", които се намират на левия вертикален панел. Всъщност е достатъчна една функция: „Точка“, която се използва за дефиниране на първични обекти, наречени „родители“, всички вторични обекти, които са „деца“, се изграждат или с помощта на бутона „Изграждане“ на горната хоризонтална лента, или с помощта на изскачащото контекстно меню при щракване с десния бутон върху избрана точка (или вторичен обект).
При конструирането на фрактални обекти е необходимо да се прави разлика между първични и вторични обекти, тъй като итерируеми обекти могат да бъдат изградени само за избрани първични "родителски" точки. Именно с помощта на първични точки се задава инициаторът на фрактала (неговият прототип). Обърнете внимание, че в тази версия на Live Geometry, други възможни първични "родителски" обекти, като линии и кръгове, не могат да бъдат итерирани. Това сериозно ограничение не позволява създаването на шедьоври на фракталното изкуство чрез итерация на „потомци“ – само първичните „родители“ могат да бъдат итерирани. Но дори и с такива ограничения е възможно да се моделират всички основни известни типове геометрични (неалгебрични) фрактали в рамките на "Живата геометрия".
За да създадете геометрични фрактали, освен добре познатите функции на бутона "Конструкции": "отсечка", "окръжност", "точка върху обект", "пресечна точка", "успоредник", "перпендикуляр", ще ви трябват и функциите на следващия бутон на лентата с инструменти вдясно: "Трансформации". Именно с тези функции е свързана процедурата за конструиране на фрактален генератор, изображението на първата му итерация. Нека отбележим най-важните функции на бутона„Трансформации“: „хомотетия“, „транслация“, „въртене“, „отражение“ и спомагателни функции, свързани с тези действия: „център на маркировка“, „ъгъл на маркировка“, „ос на отражение на маркировка“, „вектор на маркировка“, „съотношение на маркировка“. Всички тези функции са допълнени (увенчани) от нова процедура, която се появи съвсем наскоро, „итерация“, която ще играе важна роля в бъдеще.
Фрактал на дървото от броколи
Първо изграждаме вертикален сегмент, след което прехвърляме неговата хомотетия с коефициент 1:2 към собствен вектор, маркиран отдолу нагоре. След това завъртаме около маркираната долна точка на прехвърления сегмент под ъгъл от 60 градуса наляво и надясно. За да зададем процедурата на итерация, първо маркираме основните две точки (в този случай сегментът не трябва да се маркира!), След това, използвайки функцията „Итерации“, задаваме вторичните изображения за трите „клона“. В този случай използваме допълнителна функция от менюто "Итерации": "Задаване на нов дисплей" (десен бутон). Необходимият брой итерации се задава с помощта на левия бутон и след това натискане на "Увеличаване на дълбочината на итерация".
Фрактал "Снежинка Кох"
Точно както беше направено в следващия пример, ние конструираме итерационна процедура за първичния прообраз под формата на сегмент (две точки), определяйки максималната дълбочина на итерация. След това, използвайки бутона „Създаване на персонализиран инструмент“ в лявата вертикална лента с инструменти, създаваме наша собствена функция, наречена „Итерация на Кох“. Сега създаваме нов първичен обект под формата на три върха на равностранен триъгълник. Прилагайки нашия собствен инструмент за итерация на Кох към трите двойки избрани точки, щраквайки върху съответния бутон в лявата лента с инструменти, получаваме следната красива картина.
Фрактал - "Килимът на Серпински"
Фрактал "Дракон от Хартър-Хейтуей"
На дънотоНа фигурите оставихме само резултатите от последната итерация.
Имайте предвид, че различни версии на дракони се получават чрез промяна на основните конфигурации от три точки.
Следните фигури показват резултатите от последните итерации.
Фрактално моделиране на траекторията на три охлюва
Друг пример за фрактално моделиране е траекторията на охлюви, преследващи се един друг с постоянни скорости. Първоначално те са във върховете на равностранен триъгълник. ABC Не е трудно да се разбере, че след един момент те ще се окажат в точки A 1 , B 1 , C 1 , лежащи съответно на страните AB, BC, CA на разстояния, равни на изминатото в момента разстояние. Получаваме нов равностранен триъгълник, който е образ на първоначалния, към който можем да приложим предишните разсъждения. С помощта на "Geometry на живо", използвайки функцията за трансформация "Iterations", получаваме особени спирални траектории на движение на охлюви.
Заключение Статията накратко очертава информация за фракталите, историята на тяхното възникване и разглежда примери за изграждането на добре познати фрактали: „килим на Серпински“, „снежинка на Кох“, „дракон на Хартър-Хейтуей“, „папрат“, „дърво“ с помощта на „Живата геометрия“. За пореден път се убедихме, че изследванията в Живата геометрия са интересни и вълнуващи. Смятаме, че резултатите от нашата работа ще бъдат полезни и на други ученици.
- Азевич А.И. Фрактали: геометрия и изкуство.
- Попов К.А. Вектори, фрактали и компютърно моделиране.