Геодезически
Геодезическа линия(геодезическа линия) е крива от определен тип, обобщение на понятието "права линия" за извити пространства.
Специфичното определение на геодезическа линия зависи от вида на пространството. Например, върху двуизмерна повърхност, вградена в евклидово триизмерно пространство, геодезичните линии са линии, чиито достатъчно малки дъги са най-късите пътища между техните краища на тази повърхност. На равнина това ще бъдат прави линии, на кръгъл цилиндър - спирални линии, праволинейни генератори и окръжности, на сфера - дъги от големи окръжности.
Геодезичните линии се използват активно в релативистката физика. Така, например, тестово тяло в общата теория на относителността се движи по геодезична линия на пространство-времето. По същество еволюцията във времето на всички лагранжеви системи може да се разглежда като движение по геодезическа линия в специално пространство. Така може да бъде представена цялата теория на калибровъчните полета.
Съдържание
Многообразия с афинна връзка
В координатна форма това уравнение може да бъде пренаписано с помощта на символите на Кристофел
d 2 x λ d t 2 + Γ μ ν λ d x μ d t d x ν d t = 0 , x^>>>+\Gamma _
С други думи, една крива е геодезична, ако паралелно пренесен вектор по нея, който е бил допирателна към кривата в началната точка, остава допирателна навсякъде.
Риманови и псевдориманови многообразия
В римановите и псевдоримановите пространства геодезичната се дефинира като критичната крива на енергийния интеграл:
Това условие е еквивалентно на:
В метричните пространства геодезическата се дефинира като локално най-къса крива с равномерна параметризация (често с естествен параметър).
Според лемата на Гаус, за риманови многообразия това едефиницията дефинира същия клас криви като диференциално-геометричната дефиниция, дадена по-горе.
Геодезичните линиисе използват широко в релативистката физика. Така например траекторията на свободно падащо незаредено пробно тяло в общата теория на относителността и като цяло в метричните теории на гравитацията е геодезична линияна най-голямотособствено време, тоест времето, измерено от часовници, движещи се заедно с тялото.
Често физическа теория, която има действие или е изразена в хамилтонова форма, може да бъде преформулирана като проблем за намиране на геодезични на някакво риманово или псевдо-риманово многообразие.