ХОМОЛОГИЧНА АЛГЕБРА
Един от източниците на Г. и. беше теорията на топологичната хомология. пространства, в които всеки топологичен пространствотоXе свързано с последователност от абелеви групи (хомоложни групи), а непрекъснатото картографиране на пространства е свързано с набор от хомоморфизми на хомоложни групи. Всеки n-мерен сингулярен симплекс Tтопологичен. Пространството X има граница, състояща се от сингулярни симплекси с размерностn-1.Ако е свободна абелева група, генерирана от всички тези n-мерни симплекси, тогава функцията, която присвоява на всеки Talternized сбор от неговите гранични симплекси, дефинира хомоморфизъм, така че освен това непрекъснатото картографиране на пространства индуцира хомоморфизъм на съответните им комплекси. Някои свойства на пространството X или картографирането могат да бъдат намерени от свойствата на хомоложната група на този комплекс или съответните хомоморфизми на тези хомоложни групи, което в редица случаи позволява да се намали изследването на топологията. обекти на изучаване на определени алгебрични. обекти, точно както се прави в аналитиката. геометрия (но с тази разлика, че преходът от геометрия към алгебра в теорията на хомологията е необратим).
На свой ред, в алгебрата, във връзка с изучаването наразширениятана групите, първата и втората хомологични и когомологични групи всъщност бяха разгледани. Разработен е значителен подготвителен материал в теорията на асоциативните алгебри, алгебрите на Ли, теорията на крайномерните алгебри, теорията на пръстените и теорията на квадратичните форми.
В процеса на изучаване на хомоложните групи езикът на хомоложността a. Появиха се обозначения със стрелки за преобразувания и комутативни диаграми (ако два пътя в граф от преобразувания, които имат общо начало и край, водят до един и същ резултат, тогава такава диаграма се нарича комутативна). Често срещани последователностихомоморфизми, при които ядрото на изходящия хомоморфизъм съвпада с образа на входящия, такива последователности се наричат точни. Стана обичайно да се задават математически въпроси. обекти едновременно с техните преобразувания и съответствия между обекти, които запазват преобразувания, нареченифунктори, се считат за най-предпочитани.Основните предимства на този език - информационно съдържание, естественост и яснота, бързо печелят признание. Например в [5] езикът на G. a. се използва за аксиоматика. представяне на основите на алгебриката. топология. Понастоящем езикът на G. a. присъства в много произведения, които дори не използват неговите методи.
Основните функтори G. a.- Hom (A, B). (група от хомоморфизми на модул A към модул B) итензорно произведениена модули. Основата на теорията е изследването наизведени функтори, които са конструирани, например, както следва. Произволен модул A може да бъде представен като частен модул на свободния модул F0, след което същото представяне F1 се разглежда за ядрото на предишното представяне и т. н. В резултат на това точната последователност
където всички модули са проективни, т.нар. проективна разделителна способност на модулаA.Прилагането на ковариантния адитивен функтор T към него дава комплекс, чиито хомологични групи се наричат. левите производни на функтора Тн се означават с . Двойствено (за контравариантен функтор) или, използвайки инжективни модули и инжективни резолюции (за ковариантен функтор), се конструират десни производни функтори. Производните функтори измерват, в известен смисъл, отклонението на функтора от точността. Те не зависят от произвола на конструкцията на резолвента. Всяка точна последователност
съответстват на две безкрайни точни поредици от производни функтори:
За производни функтори на основни функтори се приема следната нотация:
И двата функтора са функтори на два аргумента A иB,; следователно горната конструкция за конструиране на производен функтор не е пряко приложима към тях. В този случай може да се фиксира един от аргументите и да се конструира резолюция за другия, или, като се вземат резолюциите за двата аргумента, може да се конструира определен двоен комплекс. Всички тези конструкции водят до един и същи резултат. Групата е изоморфна на групата от разширения на модул B с помощта на модул A (и е изследвана в този вид от дълго време). Установяването на нови връзки значително разшири и усъвършенства теорията за разширенията на модулите. Групата присвоява на всяка група Ae периодични. Част. Обобщението на това наблюдение доведе до обща теория за усукването.
Теорията на алгебричната хомология се вписва в общата схема на производните функтори. системи. Например нека е груповият пръстен на мултипликативната група G върху пръстена от цели числа,A -е левият модул, аB -е десният модул. Проучване на групи
където се разглежда като тривиален ляв модул, представлява теорията за хомологията и когомологията на групите. Нека е алгебра на Ли над поле, нейната универсална обгръщаща алгебра, A е модул. Проучване на групи
където k се разглежда като тривиален -модул, съставлява кохомологичната теория на алгебрите на Ли. Подходящите кохомологични и хомологични групи на моноиди, абелеви групи, алгебри, степенувани алгебри, пръстени и т.н. се дефинират по подобен начин. системи.
От своя страна хомологията на алгебр системите са предмет наотносителна хомологична алгебра.
В специфични случаи изчисляването на производни функтори обикновено се постига с добре конструирана резолюция. Понякога резолюцията се оказва крайна (например дължината на резолвентата на произволна абелева група не надвишава 1). Съществува дългогодишен и напълно оправдан интерес към дължината на най-късата резольвента (тази дължина се наричахомологична размерност).Първият значителен резултат в тази посока етеоремата на Хилбертза сизигиите (края на 19 век). Теория на хомологията. размери - един от активно развиващите се клонове на G. a. Преходът от модули с различни ограничения за крайност към общия случай често се извършва с помощта на функторииндуктивни границиипроективни граници .Например, всяка група е индуктивната граница на нейните крайно генерирани подгрупи. Всяка компактна напълно несвързана група може да бъде представена като проективна граница на нейните крайни фактор групи. Интересът към тези групи е породен от връзките им с теорията на Галоа. Производните на тези функтори се използват в теорията на хомологията. размери.
Ние изучаваме производни функтори за неадитивни функтори (например функтор, който свързва абелева група с нейния групов пръстен или симетрична алгебра).
В допълнение към вече отбелязаните разделителни способности, основните средства за изчисляване на G. алгебрите включватспектрални последователностиихомологични умножения.Спектралните последователности, като най-мощният апарат за изучаване на функторни производни, приближават хомоложните групи на група чрез хомоложните групи на нейната подгрупа и частна група. хомоложни умноженията изучават хомоморфизми от тип
комбиниране на производни функтори. Методите на G. и. се използват широко в момента в различни клонове на математиката - вфункционален анализ, теория на функциите на комплексна променлива, диференциални уравнения и др. такива раздели на алгебрата като алгебра са немислими.K-теория, алгебрична. геометрия, алгебрика теория на числата.
Лит.: [1] Картан А., Айленберг С., Хомологична алгебра, прев. от англ., М., 1960; [2] Маклейн С., Хомология, прев. от англ., М., 1966; [3] H. Base, Алгебрична .K-теория, прев. от английски, М., 1973; [4] A. Grothendik, Относно някои въпроси на хомологичната алгебра, прев. от френски, Москва, 1961; [5] N. Steenrod и S. Eilenberg, Основи на алгебричната топология, прев. от англ., М., 1958; [6] Резултати от науката. сер. Математика. Алгебра. 1964, М., 1966, стр. 203-36; [7] N. E. Steenrod, Рецензии на статии по алгебрична и диференциална топология, топологична и хомологична алгебра, pt. 2, Принстън, стр. 1174-364.Б. Е. Говоров, А. В. Михалев.