Интеграл по повърхността на сфера - MathHelpPlanet

Обсъждане и решаване на задачи по математика, физика, химия, икономика

Часова зона: UTC + 3 часа [DST]

Интеграл по повърхността на сфера

Приятно време на всички. Практикувал съм изчисляване на повърхностни интеграли и имам няколко въпроса. Да кажем, че за да получа известна стойност за площта на сфера [math]4\pi R^2[/math], изчислих повърхностен интеграл в сферични координати над 1/8 от обема на цялата сфера, което даде границите на интегриране от 0 до [math]\frac[/math]

[математика]\iint\limits_^<> dS=\int \limits_^>\int \limits_^>R^2sin \theta d\varphi d\theta =\frac[/math] ,

където [math]S=[x^2+y^2+z^2=R^2][/math] и съответно [math]z=\sqrt[/math] .

Тъй като това е 1/8 от цялата сфера, умножаването по 8 дава правилния резултат.

Сега, ако вземем не частта 1/8, а полукълбото, тогава границите на интегриране ще бъдат от 0 до [math]2 \pi[/math] и от 0 до [math]\pi[/math] . С тези граници на интегриране отговорът вече е [math]4\pi R^2[/math] . И тъй като беше полукълбо, умножаването на резултата по 2 дава площта съответно два пъти по-голяма, отколкото е. Защо е толкова странно?

И още един въпрос. Можете да изчислите площта с помощта на декартови координати, след това да преминете към полярни координати и да получите площта на полукълбо.

Така че въпросът е: защо в този случай е невъзможно вместо полярната координатна система да се премине към сферична? Изчислявам площта на сфера. Опитах - като цяло глупостта се оказва. Така заключих, че е невъзможно, а защо - не е ясно.

---