Интуиционистична пропозиционална логика
Проблемите за намиране на заключение и анализ на неговата структура, въпреки че навремето бяха модерни във връзка с "изкуствения интелект", са от голям интерес и има цяла наука за тях, в която смятането от типа на Генцен играе централна роля. Разгледахме един от вариантите на секвенционното смятане за класическото пропозиционално смятане; има изчисления за интуиционистични и модални логики, за смятане на предикати и т.н. Първоначалната мотивация за разглеждане на този вид смятане беше желанието да се докаже последователността на аритметиката. Според известната втора теорема за непълнотата на Гьодел, това не може да бъде направено без допълнителни аксиоми, но ако се приеме схемата на аксиома за трансфинитна индукция върху ординала " 0 , това може да бъде направено, както показа Генцен.
2.4. Интуиционистична пропозиционална логика
Нека изключим от броя на аксиомите закона за изключената трета A ¬A. Полученото смятане се нарича инту-
йонистично пропозиционално смятане. (Обичайното пропозиционално смятане се нарича класическо, за да се избегне объркване в сравнение с интуиционисткото. Като цяло, математическите разсъждения, базирани на аксиомата за изключената среда, се наричат „класически“, а тези, които го избягват, „интуиционистки“.)
Разбира се, веднага възникват естествени въпроси. Защо тази аксиома е съмнителна? Всъщност има много аксиоми и може да се изключи всяка една и да се види какво ще стане без нея, но е ясно, че най-вероятно ще се получи нещо странно. Как да разберем кои формули ще останат теореми без закона за изключената среда? Преди пропозиционалното смятане имаше „супер задача“ да изведе всички тавтологии и само тях, но сега?
Интуиционистката логика възниква като опит (направен от Хейтинг) за формализиране (макар и частично) на методите на разсъждение,практикуван в „интуиционистки
Какво имаме предвид (или трябва да имаме предвид), когато казваме, че сме установили това „А или Б“? Според Брауер това означава, че или сме задали A, или сме задали B. Когато заявим, че „A и B“ означава, че сме задали и A, и B. „Ако A, тогава B“ означава, че имаме някакво общо разсъждение, което ще ни позволи да зададем B веднага щом някой зададе вместо нас A. Отрицанието на A означава, че имаме разсъждение, което води до противоречие в предположението, че A е зададено. (Както интуиционистично, така и класически, ¬A е във всеки смисъл еквивалентен на A →, където
очевидно невярно твърдение. Би било възможно изобщо да не използваме отрицания, но да имаме константа като тази
не много познато, но технически удобно.) Интуиционизмът отхвърля идеята, че всичко е
наричанията се делят на истински и фалшиви (макар и по непознат за нас начин). От тази гледна точка законът за изключената среда е напълно неоснователен: А ¬А означава
че за произволно твърдение А можем
Интуиционистична пропозиционална логика
установете или А, или неговото отрицание (т.е. обяснете защо А не може да бъде установено по принцип) и защо всъщност?
Обикновено, говорейки за интуитивизма, те дават следния пример за разсъждение, което е неприемливо от гледна точка на интуитивизма. Нека докажем, че има ирационални
числа и , за които √ o е рационално. Наистина, разгледайте два случая. Ако √ 2 2 е рационално √ o nal, тогава
можем да поставим = = √ 2. Ако 2 е ирационално, тогава поставяме = √ 2 2 и = √ 2; лесно се проверява
кажете, че = 2. Интуиционистът ще каже, че това разсъждение е неправилно: да се докаже съществуването на нещо означава да се конструира товаобект, а не сме изградили числата и , тъй като не установихме кое от двете
се случват случаи. (Отбележете в скоби, че теоретиците на алгебричните числа знаят, че √ 2 √2
ирационално и дори трансцедентално. Освен това не
трябва да сте експерт √, за да забележите, че можете да поставите = 2 и = 2 log 2 3.) Този пример може да бъде
критикуват от друга гледна точка, казвайки, че самата концепция за реално число не е интуитивно ясна и изисква обосновка.
Като цяло интуицията е деликатен въпрос: ако говорим дълго време, да речем, за реални числа, тогава започва да изглежда, че те съществуват в някакъв смисъл независимо от нашите разсъждения. Ето защо въпросът, да речем, как стоят нещата с хипотезата за континуума „в действителност“ е психологически обоснован: има ли безброй набор от реални числа, който не е еквивалентен на всички реални числа, или не съществува?
Няма да говорим подробно за философските предпоставки на интуитивизма. Накратко опростената история на проблема е следната. Брауер очерта планове за реорганизация на математиката на интуиционистични принципи и ги защитаваше толкова пламенно, че един ден Хилберт раздразнено отбеляза: да се отмени закона за изключен триъгълник.