Изчисляване на преходни процеси с помощта наИнтеграл на Дюамел, Метод на променливите на състоянието (Лекция
Познаването на реакцията на веригата към едно смущаващо действие, т.е. преходната функция на проводимост или (и) преходната функция на напрежението, можете да намерите реакцията на веригата към действието на произволна форма. Основата на метода - методът на изчисление с помощта на интеграла на Дюамел - е принципът на суперпозицията.
Когато се използва интегралът на Дюамел за разделяне на променливата, върху която се извършва интегрирането, и променливата, която определя времето, в което се определя токът във веригата, първата обикновено се означава като , а втората - като t.
Нека в момента към веригата с нулеви начални условия (пасивна двуизводна мрежаPDна фиг. 1) е свързан източник с произволно напрежение. За да намерим тока във веригата, заместваме оригиналната крива със стъпкова крива (виж фиг. 2), след което, като вземем предвид, че веригата е линейна, сумираме токовете от първоначалния скок на напрежението и всички стъпки на напрежението до момента t, които влизат в действие със закъснение във времето.
В момент t компонентът на общия ток, определен от началния скок на напрежението, е равен на .
В момента има скок на напрежението, който, като се вземе предвид интервалът от време от началото на скока до точката на интерес t, ще определи текущия компонент.
Общият ток в момент t очевидно е равен на сумата от всички компоненти на тока от отделни пренапрежения на напрежението, като се вземат предвид, т.е.
.
Замяната на крайния времеви интервал на нарастване с безкрайно малък, т.е. преминавайки от сумата към интеграла, пишем
Съотношението (1) се наричаинтеграл на Дюамел.
Трябва да се отбележи, че напрежението може да се определи и с помощта на интеграла на Дюамел. В този случай в (1) вместо преходната проводимост ще влезе преходната функция по отношение на напрежението.
Последователност на изчисление сизползвайки интеграла на Дюамел
- Дефиниране на функция (или ) за изследваната верига.
- Писане на израз (или ) чрез формална замяна на t с .
- Производна дефиниция.
- Заместване на намерените функции в (1) и интегриране на определен интеграл.
Като пример за използване на интеграла на Дюамел, нека определим тока във веригата на фиг. 3, изчислено в предишната лекция с помощта на формулата за включване.
Изходни данни за изчисляване: , , .
.
Полученият резултат е подобен на текущия израз, дефиниран в предишната лекция въз основа на формулата за включване.
Метод на променливите на състоянието
Уравненията на електромагнитното състояние са система от уравнения, които определят работния режим (състояние) на електрическа верига.
Методът на променливите на състоянието се основава на подреденото компилиране и решаване на система от диференциални уравнения от първи ред, които се разрешават по отношение на производни, т.е. са написани във вид, който е най-удобен за прилагане на методите на числено интегриране, реализирани с помощта на компютърни технологии.
Броят на променливите на състоянието и, следователно, броят на уравненията на състоянието е равен на броя на независимите устройства за съхранение на енергия.
Има две основни изисквания към уравненията на състоянието:
-възможност за възстановяване въз основа на променливи на състоянието (променливи, по отношение на които са написани уравнения на състоянието) на всякакви други променливи.
Първото изискване се удовлетворява чрез специална техника за съставяне на уравненията на състоянието, която ще бъде разгледана по-долу.
За да се изпълни второто изискване, трябва да се вземат връзките на потока (токовете в клонове с индуктивни елементи) и зарядите (напреженията) като променливи на състояниетона кондензатори. Всъщност, знаейки закона за промяна на тези променливи във времето, те винаги могат да бъдат заменени с източници на ЕМП и ток с известни параметри. Останалата част от веригата се оказва резистивна и следователно винаги се изчислява с известни параметри на източниците. В допълнение, първоначалните стойности на тези променливи са независими, т.е. в общия случай се изчисляват по-лесно от останалите.
При изчисляване по метода на променливите на състоянието, в допълнение към самите уравнения на състоянието, свързващи първите производни и със самите променливи и с източниците на външни влияния - ЕМП и ток, е необходимо да се състави система от алгебрични уравнения, свързващи желаните стойности с променливи на състоянието и източници на външни влияния.
Така пълната система от уравнения в матрична форма има формата
Тук и са колонните матрици, съответно, на променливите на състоянието и техните първични производни по време; - матрица-колона на източниците на външни въздействия; - колонна матрица на изходните (желаните) стойности; - матрица от параметри с квадратен размерn x n(където n е броят на променливите на състоянието), наречена матрица на Якоби; - правоъгълна матрица на връзката между източниците и променливите на състоянието (броят на редовете е n, а колоните - броят на източниците m); - правоъгълна матрица за свързване на променливи на състоянието с желаните стойности (броят на редовете е равен на броя на търсените стойности k, а колоните са n); - матрица за връзка с правоъгълен размерk x mвход-изход.
Началните условия за уравнение (2) се дават от вектора на началните стойности (0).
Като пример за съставяне на уравнения на състоянието, разгледайте веригата на фиг. 4а, в която се изисква определяне на токовете и .
Съгласно законите на Кирхоф, за тази верига пишем