Изоспин група SU(2)

Нека сега разгледаме едно от важните приложения на теорията на групите и техните представяния във физиката на елементарните частици. Ще стане дума за класификацията на елементарните частици с помощта на теорията на групите. Като прост пример, разгледайте протон и неутрон. Отдавна е известно, че протонът и неутронът имат сходни маси и подобни свойства по отношение на силните взаимодействия. Ето защо при силни взаимодействия Хайзенберг предложи да се разглеждат като едно състояние. Но за да направим това, трябва да намерим група, в която най-ниското нетривиално представяне има размерност 2. Тук се опитваме да приложим формализма на групата SU(2), която има двумерен спинор като основа на представянето. Нека въведем групата изотопни трансформации SU(2)I. Нека дефинираме нуклон като състояние с изотопен спин I = 1/2 с две проекции (протон с I3 = 1/2 и неутрон с I3 = -1/2) в това фиктивно изотопно пространство, като направим почти пълна аналогия с въвеждането на спин 1/2 в обикновеното пространство. Обикновено основата на двумерното представяне на групата SU(2)I се записва като изотопен спинор

което означава, че протонът и неутронът се определят като

Представянето на измерение 2 се реализира от матриците на Паули 2 × 2 τk , k = 1, 2, 3 (вместо σi , i = 1, 2, 3, което оставяме да опише спин 1/2 в обикновеното пространство), докато изотопният оператор τ + = 1/2(1 + i2) трансформира неутрон в протон и тон в неутрон. Съществува и изо-дублет от каскадни хиперони със спин 1/2 Ξ 0,- с маси

1320 MeV. Дублет от странни мезони със спин 0 K +,0 с маси

490 MeV и антидублетът на техните античастици K 0,- . Как да опишем частици с I = 1? Да кажем триплет от π мезони π + , π - , π 0 с нулев спин с отрицателен паритет с маси m(π ±) = 139.5675+0.0004 MeV, m(π 0 ) = 134.9739+0.0006 MeV и практически същите свойства по отношение на силни взаимодействия? В групата от (изотопни) ротации бихме дефинирали изотопния вектор като основа (където реалните псевдоскаларни полета π1,2 са свързани със заредените пиони π ± чрез формулите π ± = π1+iπ2 и π 0 = π3), генераторите Ak, k = 1, 2, 3, като представяне на алгебрата, и матрицата R k, k = 1, 2, 3, като представяне на групата, където ъглите k са определени в изотопно пространство. Използвайки резултатите от предишния раздел, на изотопния триплетреални полета в SU(2)I е присвоена основа на формата

където заредените пиони се описват откомплексни полета. По този начин пионите могат да бъдат дадени в изотопния формализъм под формата на двумерни матрици:

.. .

които формират основата на представянето на размерност 3, а самото представяне е дадено, както вече беше споменато, от унитарни унимодуларни матрици 2 × 2 U. Частиците с произволен спин с изоспин I = 1 се описват по подобен начин.

Сред частиците с полуцяло въртене посочваме например изотриплета от странни хиперони със въртене 1/2, открити в началото на 60-те години с маси

1192 MeV Σ ± ,Σ 0, което е записано в SU(2) базиса като

Представянето на измерение 3 се дава от същите матрици U. Нека си припомним още веднъж, че изотопният спин се определя експериментално от броя на частиците N = (2I + 1), които са близки по своите свойства, т.е. имат същия спин, близки (на ниво процент) маси и практически същите свойства по отношение на силно взаимодействие. Например, с маса, близка до 1115 MeV, е открита само една частица със спин 1/2 със странност S = -1 - това е хиперон Λ cнулев електрически заряд и маса 1115.63+0.05 MeV. Естествено, на тази частица беше приписан нулевият изотопен спин. Изоспинът I = 0 на псевдоскаларния мезон η(548) се определя по същия начин. Има също триплет барионни резонанси със спин 3/2, странност S = - 1 и маси M(Σ *+ (1385)) =1382.8+0.4 MeV, M(Σ *0 (1385)) =1383.7+1.0 MeV, M(Σ *- (1385)) =13 87.2+0.5 MeV, (резонансите са частици, които се разпадат от силно взаимодействие и следователно имат много кратък живот; по едно време активно се обсъждаше въпросът дали трябва да се считат за "елементарни") или (можете да намерите и друго обозначение за този резонанс - Y * 1 (1385)). Известно е само едно състояние с изотопен спин I = 3/2 (т.е. в експеримента са открити 4 практически идентични състояния, различаващи се само по заряд) - това е четворка от нуклонни резонанси със спин J = 3/2 Δ ++ (1232), Δ + (1232), Δ 0 (1232), Δ - (1232), разпадащи се на пион и нуклон (измерена масова разлика = 2,7+0.3 MeV). (Използва се и друго обозначение - N*(1232).) Само два резонанса със спин 3/2Ξ *0,- с маси

1520 MeV, така че те са поставени в изо-дублет с изоспин I = 1/2. Използването на формализма на изотопния спин позволява не само икономично да се класифицира наборът от силно взаимодействащи частици (адрони) според изотопни мултиплети, но също така да се свържат амплитудите на разпадане, както и амплитудите на разсейване на частиците, включени в същите изотопни мултиплети. Няма да се спираме по-подробно на тези отношения, тъй като те са част от отношенията, които възникват в рамките на по-високи групи на симетрия, към които сега се обръщаме. В края на този раздел си спомняме друг изгледвръзките на Гел-Ман-Нишиджима между заряда Q, 3-тия изоспинов компонент I3 и хиперзаряда Y = S + B, където S е странността, B е барионното число (+1 за бариони, -1 за антибариони, 0 за мезони):

Q = I3 + Y/2.

Тъй като Q е хиперповърхностният интеграл на 4-тия компонент на електромагнитния ток, това означава, че електромагнитният ток е суперпозиция на 3-тия компонент на изовекторния ток и изоскаларния хиперзаряден ток.