ИЗПЪКНАЛ

ИЗПЪКЛИВОСТ - термин, използван в различни клонове на математиката и обозначаващ свойства, които обобщават отделни свойства на изпъкнали множества в евклидови пространства Е n . С термина "V." свързана е приложимостта на редица изследователски техники.

В E n следните две основни определения са еквивалентни. Едно множество е изпъкнало: а) ако е пресечна точка на отворени полупространства; б) ако заедно с произволни две точки съдържа отсечка, която ги свързва. И двете определения на V. се пренасят в случая на векторни пространства L.

Дефиниция b) се разширява до множества в пространства с геодезични (пространства с връзки; локално компактни метрични пространства, по-специално римановите и финслерови пространства). В този случай ролята на сегменти се играе от геодезични; но ако две точки не са свързани с една геодезическа или най-къса линия, тогава понятието "B." разклонява се. В риманова геометрия, по-специално, се използват следните варианти на B. (виж [1]; [2]): 1) множеството Μ е изпъкнало, ако всеки две точки от Μ са свързани с единствен най-кратък път и той лежи в Μ; 2) множество Μ е локално изпъкнало, ако всяка точка от Μ има околност в Μ, която е изпъкнала по смисъла на 1) 3) множеството M е слабо изпъкнало, ако всеки две точки са свързани с поне един най-къс път, водещ към M; 4) множество M е абсолютно изпъкнало, ако за всеки две точки в M има всички геодезични, които ги свързват.

В E n се нарича границата (или част от границата) на n-мерно изпъкнало тяло. изпъкнала хиперповърхност, за n = 3 - изпъкнала повърхност, за n = 2 - изпъкнала крива.

За функция на реална променлива B. означава B. на нейния епиграф (вижте Изпъкнала функция на реална променлива). B. на функционал f в L се дефинира по подобен начин (вижте Изпъкнал функционал).

За изпъкнали множества в L може да се говори за B. семействамножества, изискващи от условието М1, M2 ∈ , 0 ≤ α ≤ 1 да следва (1 - α)M1 + αМ2 ∈ . Изпъкнали (и вдлъбнати) функционали Ф(М) са определени върху изпъкнали семейства. Изпъкналостта на функционала се определя от изискването

Терминът "V." за еднозначни функции на комплексна променлива има специално значение - свойството за преобразуване на единичната окръжност в изпъкнала област (вижте Изпъкнала функция на комплексна променлива).

Сред обобщенията на B. в E n се разглежда R - изпъкналостта на компактното множество M, което означава, че всяка точка, която е по-малко от R далеч от M, има уникална най-близка точка в M (виж [4], [5]).

В теорията на линейните диференциални оператори терминът "B." свързани с определени свойства на хомоложните групи [6]. Това е свързано с възможността за докосване на границата отвътре в областта с хиперповърхност, за която определен брой главни кривини са положителни. В теорията на функциите на няколко комплексни променливи важна роля играе холоморфната изпъкналост, която е свързана с невъзможността да се докосне границата на област от вътрешността на аналитика. повърхност [7]. Последното понятие е частен случай на т.нар. K-изпъкналост (виж [7], стр. 6). Схемата на K-изпъкналост отговаря на много от изброените концепции на V.

При изпъкнал анализ се използва концепцията за H-изпъкналост, която обобщава представимостта на изпъкнала функция като супремум на семейство от линейни функции [8].

В теорията на метриката пространства, изпъкналостта на метрика (според Менгер) се определя като съществуването за всяка точка x ≠ y на точка, различна от тях, за която ρ(x, y) = ρ(x, z) + ρ(z, x) (виж [9]). Под d - изпъкналост на множество M се разбира, че всяка такава точка z принадлежи на M за x, y ∈ M. Дефинициите на B. в пространства с подреждане са много близки до това (виж, например, Изпъкнала подгрупа).

На почти всяка дефиниция на V. съответства понятието местно V. Свързано с него Нопри избор на клас локално изпъкнал вектор топологичен. поставя термина "местен V." има специално значение, което означава, че всяка точка има базисна система от изпъкнали съседства.

Лит.: [1] Д. Громол, В. Клингенберг, В. Майер, Риманова геометрия като цяло, прев. от немски., М., 1971; [2] Александров A.D., Zalgaller V.A., Двумерни многообразия с ограничена кривина [Tr. Мат. Институт на Академията на науките на СССР, т. 63], М., 1962; [3] Hadviger G., Лекции по обем, повърхност и изопериметрия, прев. от немски, М., 1966; [4] Федерер Х., Прев. амер. математика съч.", 1959, в. 93, № 3, с. 418-91; [5] Ю. Г. Решетняк, „Мат. Сб., 1956, т. 40, с. 381-98; [6] В. П. Паламодов, Линейни диференциални оператори с постоянни коефициенти, Москва, 1967; [7] В. С. Владимиров, Методи на теорията на функциите на много комплексни променливи, М., 1964; [8] С. С. Кутателадзе и А. М. Рубинов, „Успехи на мат. наука”, 1972, т. 27, № 3, с. 127-176; [9] Л. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Клее, Теоремата на Хели и нейните приложения, прев. от английски, М., 1968.

Ю. Д. Бураго, В. А. Залгалер.

Математическа енциклопедия. T. 1 (A - D). Изд. колегия: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] - М., "Съветска енциклопедия", 1977, 1152 stb. от болен.