KNOW INTUIT, Лекция, Бази на Gröbner

10.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Казваме, че полиномъте инволютивно редуциран до полиномас помощта на полиномапо отношение на мономаm и пишем, като пропускаме споменаването на монома , , ако се свежда до в обичайния смисъл, и . Отношение за произволно множество от полиноми и неговите транзитивни и рефлексивно-транзитивни затваряния се дефинират по естествен начин.

Ако е дадено редукционно отношение, тогава се дефиниранормална форма, която в този случай се наричаинволютивна.

Немултипликативно продължениена полином е неговият продукт и някои немултипликативни за неговата най-висока мономиална променлива.

10.8. ПРИМЕР. Нека е ограничено подмножество на . За всеки разделяме набора на групи, обозначени с неотрицателни цели числа:

10.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Нека е полиномен пръстен от променливи, е идеал на пръстен, е краен набор и е инволютивно деление върху множеството от мономи. Едно множество се наричаинволютивна базана идеал, ако за всеки ненулев елемент имаинволютивно представяне

\theta_\u_>,\notag \end">(10.1)

10.10. ТЕОРЕМА.Некае полиномен пръстен в променливи,е идеал на пръстен,е краен набор ие инволютивно деление на множеството от мономи.Да предположим, че множествотое нормализирано по такъв начин, чеза всички . Тогава следните условия са еквивалентни:

  1. е инволютивна основа на идеала ;
  2. инволютивно генерира;
  3. за всякакви;
  4. ако и са инволютивно нередуцируеми, тогава ;
  5. ако и е инволютивно нередуцируем, тогава .Следните условия са необходими за изпълнение на предходните и акоsetгенерира,тогава те също са достатъчни:
  6. Ако и , тогава допуска инволютивно представяне;
  7. за всякакви и .

Доказателството е оставено на читателя като упражнение.

Имайки инволютивна основа и инволютивно деление, можем да конструираме алгоритъм за нормална форма, както следва: за всеки полином ние формираме множеството от неговите инволютивни кратни; множеството е основа на линейно пространство и всеки моном може да присъства в най-много един елемент от тази база. За всеки полином можем да изключим онези членове, които присъстват като най-високите мономи в набора от инволютивни кратни. Лесно е да се покаже, че нередуцируемият полином, получен от такива елиминации, не зависи от реда на тези елиминации. Въпреки това, за да се избегнат многократни елиминации на един и същ моном (с различни коефициенти), е естествено тези операции да се извършват в низходящ ред на мономи. Така получаваме алгоритъма за нормална форма.

Естествено, не всеки алгоритъм за нормална форма може да бъде получен по този начин. Проблемът възниква при описанието на онези алгоритми с нормална форма, които се дефинират с помощта на инволютивни бази.

10.11. ОФЕРТА.Ако множеството от висши мономи на полиноми от идеала е разделено на непресичащи се конуси, така че елементите на един конус да се редуцират с един полином от основата, тогава съответното инволютивно деление изглежда така:за върха на конуса променливите, съответстващи на генераторите, са мултипликативни, а вътре в конуса делението е дадено произволно.

ДОКАЗАТЕЛСТВО . Формално определеното инволютивно деление е дадено по следния начин: нека е произволно инволютивно деление, съответстващо на конус с връх примоном . Да сложим

  1. ;
  2. - априорен ;
  3. , но тогава , тогава . Оттук ;
  4. .

По дефиниция всеки водещ моном на идеален полином се редуцира инволютивно до върха на съответния конус, освен това инволютивната нормална форма винаги е уникална. Алгоритъмът за нормална форма, даден от тези конуси, има същата структура. Следователно е установено съответствието между алгоритъма на нормалната форма и инволютивното деление.