Комбинаторни правила за изчисляване на вероятности

Директно изчисляване на вероятностите

Класическата дефиниция на вероятностите за случайно събитие е свързана с тест, организиран по следния начин:

1. Тестът съдържа краен брой резултати;

2. Всички резултати от теста са еднакво вероятни, т.е. възникват еднакво често, ако броят на опитите е голям;

3. Всеки два резултата не могат да възникнат едновременно (резултатите са несъвместими).

НекаЕе множеството от всички случаиеi(i = 1, 2, …, n), свързани с някакъв опит, т.е.E= e1, e2, ..., en>. И така, имаме общоnслучая. Нека освен това събитиетоАсе предпочита отmслучая отn.

Дефиниция 2.Вероятността за събитие А е съотношението на броя на случаите в полза на А към общия брой случаи.

Вероятността за събитиеAсе означава сP(A). Така според това определение

(1)

Това определение на вероятността се нарича класическо.

Теорема.Вероятността за всяко събитие е неотрицателно число, което не надвишава единица.

Доказателство. Броятmна случаите в полза на всяко събитие не може да бъде отрицателен и по-голям от техния общ бройn, т.е. 0 £m£n. Разделяйки това неравенство член по член наn, получаваме

или, предвид равенството(1), 0

(2)

къдетоn! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × (n –1) ×n.

СъбитиетоAсе благоприятства само от тези резултати, когато една моментна снимка принадлежи към набораE2, а другите две -E1. Всички такива резултати се изчисляват по формулата

m1=

Според формула (1) намираме

P(A)=

СъбитиеBе предпочитаносамо тези картини, които принадлежат на множеството E и следователно

m2 =

P(B)=

Ако експериментът се състои в избиране на m елемента без връщане, но подреждането им, както са избрани в последователна верига, тогава различните резултати от опита ще бъдат комбинации от подредени елементи, които се различават един от друг или в набора от елементи, или в реда, в който се появяват. Получените комбинации от елементи се наричат ​​подреждане на n елемента по m,и общият им брой се определя по формулата

(3)

къдетоm! е броят на пермутациите (Рm ).

Схемите на избор, водещи до комбинации с повторения,са следните: опитът се състои в избор с връщане наmелементи от множествотоE= e1, e2 , e3 ,…,en>, но без последващо подреждане. Различни резултати от такъв експеримент ще бъдат възможни комбинации отmелементи, които се различават по състав. Въпреки това, за разлика от комбинациите, тези комбинации могат да съдържат повтарящи се елементи. Например, сm= 4 комбинации e1, e1, e2, e1> и e2, e1, e1, e1> са неразличими, но комбинацията e1, e1, e3, e1> ще бъде нова и различна от първите две.

Общият брой комбинации с повторениясе изчислява по формулата:

---