Лабораторна работа - Завършена - Студенти от всички групи - LAB - MP-30 - 20_Rashchenko
Лаборатория №8
Изследване на най-простия демографски модел на Малтус.
Разгледайте най-простия модел на населението - демографския модел на Малтус. Моделът на Малтус е модел, който описва промяната в размера на населението във времето.
В тази статия е необходимо да се опише динамиката на промените в числеността на населението във времето, да се определи зависимостта на раждаемостта и смъртността от времето.
Необходимо е разглежданият модел да се проучи в две версии:
Числото не зависи от равновесната популация
Броят зависи от равновесната популация (В този случай използвайте както аналитичното решение, получено в лекцията, така и численото решение на проблема на Коши (вижте процедурите ode23 ode45)
Размерът на популацията може да се променя с течение на времето по различни начини: да расте, да се колебае, да намалява и причините за това могат да бъдат различни. В моята работа ще се опитам да разгледам модели на нарастване на населението и математически апарат, който ни позволява да опишем динамиката на броя на различните популации.
Най-простият модел на Малтус (числото не зависи от равновесната популация)
Световноизвестният математически модел, който се основава на проблема за динамиката на населението, е класическият модел на неограничен растеж - геометрична прогресия в дискретно представяне,
Моделът е предложен от Малтус през 1798 г. в неговия класически труд За закона за растежа на населението. Томас Робърт Малтус (1766-1834) - известен английски демограф иикономист, обърна внимание на факта, че населението расте експоненциално (в геометрична прогресия).
Размерът на популацията (промяната й) не зависи от местообитанието и ресурсите (т.е. ресурсите не са ограничени), човешката намеса, икономическите и други фактори;
Биологичната система е затворена;
Равновесната популация не се взема предвид;
Изграждане на математически модел
За изграждането на този математически модел ще използваме аналогии с вече изследвани явления. Нека направим аналогия между динамиката на населението и радиоактивния разпад.
Нека
Промяната в размера на популацията за единичен период от време dt е равна на разликата между нарастването и намаляването на популацията.
.
Виждаме, че скоростта на промяна на популацията във времето t е пропорционална на текущата популация N(t), умножена по сумата на раждаемостта
Това уравнение до голяма степен е подобно на уравнението на радиоактивния разпад, то съвпада с него при
Разделете променливите и интегрирайте уравнението:
,
където N(0) е началното число.
1Промяна в размера на населението с течение на времето в модела на Малтус
Изпълнение на задача в MATLAB
Разгледайте случаите, в които раждаемостта и смъртността са постоянни.
Нека симулираме ситуация, в която раждаемостта е по-голяма от смъртността. За да направите това, създайте функция за m-файл f1.m:
алфа=0,2; % Задаваме характеристиката на плодовитостта
бета=0.175; % Задайте характеристиката на смъртността
y1=алфа*t-бета*t; % Население9
СегаНека симулираме ситуация, при която раждаемостта е по-малка от смъртността. Нека създадем m-файлова функция f2.m:
alfa2=0.121;%Задаване на раждаемостта
бета2=0,23; % Задайте характеристиката на смъртността
y2=алфа2*t-бета2*t; % Население9
И накрая, разгледайте ситуацията, когато раждаемостта и смъртността са равни. Нека създадем m-файл функция f3.m:
alfa3=0.3;% Задаване на раждаемостта
бета3=0,3; % Задайте характеристиката на смъртността
y3=алфа3*t-бета3*t; % Население9
Нека изградим графики, илюстриращи зависимостта на размера на населението от времето на неговото съществуване при различни нива на раждаемост и смъртност:
N0=input('Въведете първоначална популация');
tmax=input('Въведете крайния час за обучението');
legend('alfa>beta','alfa расте според някакъв експоненциален закон, обръщайки се към безкрайност при
Малтус също отбеляза, че за разлика от размера на населението, производството на храна нараства линейно с течение на времето (в аритметична прогресия), от което той направи справедливо заключение, че рано или късно експонентата задължително ще "изпревари" линейната функция и гладът ще дойде.
Въз основа на тези открития Малтус говори за необходимостта от въвеждане на контрол върху раждаемостта, особено за най-бедните слоеве на обществото.
Според експоненциалния закон изолирана популация ще се развие в условия на неограничени ресурси. В природата такива условия са изключително редки. Пример е възпроизвеждането на видове, въведени на места, където има много храна, иняма конкуриращи се видове и хищници (зайци в Австралия).
Модел на Малтус-Верхулст
Великият Дарвин посвети няколко страници от своя дневник на обсъждането на значението на заключението на Малтус за динамиката на населението, като посочи, че тъй като никоя популация не се възпроизвежда безкрайно, трябва да има фактори, които предотвратяват такова неограничено възпроизводство. Сред тези фактори може да бъде липсата на ресурс (храна), предизвикваща конкуренция в популацията за ресурс, хищничество, конкуренция с други видове. Резултатът е забавяне на темпа на нарастване на населението и излизане на неговия брой на стационарно ниво.
За първи път системен фактор, ограничаващ нарастването на населението, е описан от Verhulst в уравнението за логистичен растеж. Той въвежда допълнителен отрицателен член в уравнението на Малтус, който е пропорционален на квадрата на скоростта на растеж и отразява намаляването на числеността поради ограниченото местообитание или количеството ресурси.
Логистичното уравнение има две важни свойства. При малки стойности на N броят нараства експоненциално (както в уравнение
За да изградим модела, правим следните опростяващи предположения:
Съществува "равновесен" размер на населението Np, който околната среда може да осигури;
Скоростта на промяна в размера на популацията е пропорционална на самия размер, умножен по неговата стойност.отклонения от равновесната стойност.
Изграждане на математически модел
Преди това въведохме константата
Членът
Представяме диференциалното уравнение във формата
Определяме константата на интегриране от условието , т.е.
Като резултат
Или
3Логистични криви, съответстващи на различни стойности на първоначалната популация N(0)
Поведението на функцията N(t) се описва с логистична крива. За всяко N(0), числото клони към равновесната стойност Np и колкото по-бавно, толкова по-близо е N(t) до N(0). Че. в този модел равновесието е стабилно (за разлика от модела, разгледан в първия пример).
Реализиране на задачи в MATLAB
Нека създадем функция yp.m
Използвайки процедурата ode45 за числено решение на задачата на Коши, намираме решението на уравнението на Верхулст.
Задаваме стойностите на началния и равновесния размер на популацията, общото време на растеж и начертаваме графика, илюстрираща зависимостта на размера на популацията от времето:
N0=input('Въведете първоначална популация N0 по-малко от 2000');
title('промяна в населението')
4Диаграма на изменението на населението според модела на Малтус-Верхулст
Логистичният модел отразява динамиката на населението по-реалистично от модела на Малтус.