Лекция 20 - Интуиционизъм, fkn antitotal

Основни раздели

Интуиционистите са най-показателният пример за това колко може да се промени математиката, ако сериозно се увлечете от философията. Тук математиката трябваше да бъде сериозно реформирана - половината от теоремите трябваше да бъдат доказани отново.

Възниква през 19 век. Леополд Кронекер, във връзка с теорията на множествата, отрече съществуването на действителна безкрайност. Отрече, че има обективно безкрайни множества.

НО той не се опита да направи далечни заключения от това, той просто се усъмни. В началото на 20-ти век се намери човек, който развива тази идея - това е Брауер, основателят на интуитивизма. Той формулира основните си идеи. Основните му тези са актуални и днес. Днес математиците, които се занимават с това направление, се наричат конструктивисти.

Развива се и в СССР. Някои са склонни да поставят рязка граница между конструктивизма и интуитивизма. Има и разлики, има и прилики, но тук-таме доказателствата "от противното" са забранени.

Има определени обекти с обективни свойства - изглежда, че доказателството от противно се основава на това.

Всъщност Кант е имал своя собствена философия на математиката, но е имал и обща философия - че ние сами създаваме една наблюдаема реалност и не можем да оперираме ясно с неща, които съществуват сами по себе си - те не са ни дадени.

Брауер беше кантианец. Той казва, че:

1) Математическите обекти не съществуват сами по себе си (за разлика от логиците)
2) Математиката не изисква икони (за разлика от формалистите)
3) Математиката възниква в съзнанието ни – това е нейният източник.

Брауър казва, че имаме някаква интуиция за времето - когато нещо трае, и тогава разбираме какво може да се счупивремеви интервал на два фрагмента - начален и краен. Всъщност Брауер дефинира числата с такова „разделяне наполовина“ - тоест според него числатавъзникват от времето, а времето се възприема от съзнанието. Следователно числата са в ума. Така имаме някои интуитивни принципи. Числата са основата, те лежат в основата на математиката и следват от интуицията за времето, дадено на човека. Бешепърво действие.

Вторият акт на интуитивизма е способността да се изграждат последователности (вече не само числа, а техни серии). И разберете, че обектите могат да имат някои свойства. Тоест – нямаме обективна реалност в математиката – няма обективна математика и обективна математическа истина.

Например – реализъм, това е когато фактите изобщо не зависят от нас – каквото и да мислим за това. „Красотата е в очите на гледащия“ е типична антиреалистична теза. Подобен подход е популярен например в областта на естетиката. Релативистите са вид антиреалисти, които казват "всекиму своето".

Между другото, Гьодел беше реалист в математиката (който разруши формализма). Сфера на Дайсън -- Според Кардашев (класификация на цивилизациите):

1) Цивилизацията използва цялата енергия на планетата
2) Цялата енергия на една звезда е да я обгради със сфера.
3) Цялата енергия на галактиката.

Така че говорихме за галактиките по-горе от гледна точка на реализма.

Законът на изключената среда – обектът или има дадено свойство, или не. Нека запишем това с общ квантификатор: $\forall x \in D (a(x) or not(A(x)))$

Но има и размити предикати - свойства, които нямат ясни страници. Например, лесно е да направите нещо средно между стол и фотьойл. Просто "по тази тема" има всякакви "тризначни логики".

В математиката предикатите имат ясни граници и ако например имаме числа и дефинираме определени свойства, тогава работи, но отново, ако приемем, че числата обективно съществуват. Ето как работи класическата математика.

Ако кажем, че числата съществуват само в съзнанието ни + те все още са алгоритмични за изграждане на нови обекти. НО изглежда, че законът за изключената среда няма да работи. Това е идеята.

Още веднъж - нямаме обективна реалност и няма истина в смисъл на съответствие с обективни факти. Имаме истината - има само доказателства. Нека разгледаме всяка математическа позиция - тяе или вярна, или невярна - законът за изключване трябва да работи. Трето (в класиката). Твърдението може да бъде или доказано, или недоказано - или "не това, не това" - в математиката има много недоказани хипотези.

Това е относно предположението за живот на други планети - друго е ясно (планетите обективно съществуват). НО предположението на Холбах - става въпрос за числа, много големи, които са твърде абстрактни - това е съмнително.

От закона за изключената среда следвапринципът на премахване на двойното отрицание. В математическата практика този метод се използва при доказателство от противно.

Доказателството чрез противоречие не може да работи без премахване на двойното отрицание. НИЕ казваме "получихме отрицание - така че ако $not A$ е невярно, тогава $A$ е вярно." Законът за изключеното изискване и доказателството за противоречие, следващо от него в интуитивизма и конструктивизма се отричат.

Интуиционистите по същество приравняват истината и доказуемостта.

Брауер е живял през целия си живот в Холандия. Той пише през нулата и 10-те години на 20 век. Някои от хората, които работеха с Гилбърт, отидоха при Брюър. Но Хилберт не стигна толкова далеч - той не изостави закона на изключенитетрети. Въпреки че неговият финизъм може да се възприеме като намигване към интуиционистите.

Като цяло всичко започна с отричането на безкрайността, но Брауер вече се усъмни в природата на самите числа. Потенциалната и действителната безкрайност се разграничават от интуиционистите. Действително - отказано. Потенциал - това е този, който може да бъде изграден в огромен брой стъпки, но все пак е възможен. Използва определен идеален субект - но все пак човек, ограничен.

Досега този клон е популярен в Северна Европа. След това нека поговорим за логиката.

Тук използваме класическа логика - тази система, в която използваме таблицата на истината и приемаме обективното съществуване на определени набори, когато използваме квантора. НО тук в интуиционизма са последователите на Брауер - Хейтинг в частност. Колмогоров в СССР се интересуваше от този раздел. Тук използвахме термина „конструктивизъм“. Интуиционистите използват термина "доказуемост".

Искаме това отрицание интуитивно да означава „опровергано“. Тоест, за да няма объркване С временна липса на доказателство Интуиционистката логика има свои собствени характеристики, някои класически теореми са изпълнени там, някои не.

Съществува аритметиката на Хейтинг – много подобна на аритметиката на Пеано, но отчитаща особеностите на интуитивизма.

Например - взеха две ирационални - как да докажат, че има две числа $a$ и $b$, така че $a^b$ ще бъде рационално число. Нека вземем $\sqrt^>$ тук - ако тези числа са рационални, значи сме го намерили (две такива числа са еднакви), а ако е ирационално, тогава просто вземаме $(\sqrt^>)^^ = 2$ -- и получаваме ясно рационално число $2$, т.е. избрахме $a = \sqrt^>$ и $b = \sqrt$. Такова доказателство "няма да мине" в интуитивизма поради изключеното третоизползвани за хипотезата за рационалност на числото $\sqrt^>$. Люс въвежда модални концепции в логиката.