Логиката е градивна, Енциклопедия по хуманитарни науки

Конструктивната логика е клон на съвременната математическа логика (вижте Математическа логика), който изучава разсъждения относно конструктивни обекти (вижте Конструктивен обект) и процеси (вижте Конструктивен процес). Конструктивните обекти са или отделни, ясно различими знаци (виж Знак), или последователности от такива знаци, получени чрез някакъв конструктивен процес, който протича съгласно ясни дискретни правила. Пример за елементарен конструктивен обект са лесно разпознаваемите и различими букви от азбуката, а пример за конструктивен процес е изграждането на думи от тях по еднозначно определени правила.

Конструктивната логика се развива като набор от логически принципи, признати от представителите на математическия конструктивизъм (виж Математически конструктивизъм). Принципите на конструктивната логика включват абстракцията на потенциалната, но не и действителната безкрайност, когато не се взема предвид невъзможността за пълен преглед на всяка безкрайна формация. Едно безкрайно множество, като множеството от всички естествени числа, не може да се разглежда като единичен завършен обект. Съществуването на конструктивен обект се счита за доказано само ако е посочен методът на неговото потенциално осъществимо изграждане, строителство. Ограничаването на разсъжденията до конструктивни обекти и процеси (като правило, описани от алгоритми) по определен начин променя разбирането на логическите връзки и квантори в сравнение с тяхното разбиране в класическата логика (виж Логика). По този начин дизюнкцията на твърденията „А или Б“ се счита за оправдана, ако можем потенциално да приложим конструктивен процес, който ни позволява да изберем правилния термин за тази дизюнкция; оценени по подобен начинвалидност на полиномните дизюнкции. Тълкуването на квантора на съществуване е близко до разбирането на дизюнкция: твърдението „има такова x, за което условие A е вярно“ се счита за оправдано, ако потенциално извършим конструктивен процес на избор на конструктивен обект x, който потвърждава условие A. Обосноваването на връзката „A и B“ се състои в обосноваване на двата (тоест всички) съединителни термина, а твърдението „За всяко x условие A е вярно“ се счита за оправдано, ако сме в състояние докаже за всеки обект от разглеждания вид, че отговаря на изискването. Обосноваването на импликацията „ако А, тогава Б“ се състои в представянето на конструктивен процес, който позволява, чрез обосноваване на твърдение А, да се конструира обосновка на твърдение Б. Отрицанието на твърдение А е оправдано от представянето на конструкция, която води до противоречие във всеки опит да се обоснове А.

Конструктивната интерпретация на логическите връзки и квантификаторите позволява много други усъвършенствания. По-специално са създадени различни аксиоматични системи на конструктивната логика. Тъй като конструктивната позиция е идеологически близка до интуиционистката (виж Интуиционизъм), аксиоматичните системи, първоначално предназначени за реконструкция на интуиционистично приемливи разсъждения, се наричат (или подразбиращи се) конструктивни. Например, активно изучаваните суперинтуиционистични логики през годините и малко по-късно бяха наречени суперконструктивни. Разликата между тези логики и класическата се проявява във факта, че въпреки че законите p → ¬ ¬ p, ¬ ¬ ¬ p → ¬ p, (p → q) → (¬ q → ¬ p) са конструктивно приемливи, в тези системи липсват почти всички други варианти на формите на разсъждение „от противоречие“ - законът за премахване на двойното отрицание ¬ ¬ p → p, законът за противопоставяне (¬ p → ¬ q) → (q → p), законътКлавий (¬p → p) → p, законът на Пиърс (p → q) → p) → p и други.

Освен това в конструктивната логика връзките са независими, тоест не се изразяват една чрез друга, няма класическа взаимна изразимост на универсалност и квантори на съществуване. В резултат на това, по-специално, аргументите, водещи до доказателството на така наречените чисти теореми за съществуване, типичен пример за които е доказателството на Г. Кантор за съществуването на трансцендентални (т.е. реални, но не алгебрични) числа, се оказват неоснователни: предположението, че е възможно да се подредят всички реални числа в последователност, се свежда до противоречие, докато алгебричните числа могат да бъдат подредени в последователност. Теоремите за чисто съществуване (което означава твърдението на теоремата, което следва от доказателството) имат формата ¬ ¬ ∃xA (x), което не може да бъде преведено в ∃xA (x), тъй като техните доказателства не дават конкретно x, потвърждаващо валидността на A, а само водят до противоречие в твърдението, че няма такова x. Въпреки това, поради спецификата на конструктивните обекти и процеси, много представители на конструктивизма (за разлика например от привържениците на интуиционизма) приемат принципа на конструктивен подбор (или принципа на Марков): ако има алгоритъм, който позволява на произволен конструктивен обект x да извърши конструктивен процес за определяне дали x има свойство A, тогава в случай на обосновка ¬ ¬ ∃xA (x) се счита за оправдано и ∃xA (x).

Взаимовръзките на класическите и конструктивните логически системи се проявяват на пропозиционално ниво под формата на теоремата на В. И. Гливенко:

отрицателните твърдения в тези системи са еднакви;
конструктивно приемливо е двойното отрицание на всеки закон на класическата пропозиционална логика и обратно.

Завалидността на теоремата на Гливенко за предикатни варианти на конструктивни и класически системи е необходимо да се добави законът ¬ ¬ (∀xA (x) ∨ ¬ ∀xA (x) и/или законът ∀x ¬ ¬ A (x) → ¬ ¬ ∀xA (x) като схема от аксиоми към конструктивната система (обратна импликация ¬ ¬ ∀xA (x) → ∀x ¬ ¬ ¬ A (x) се приема в конструктивната логика).

Отличителна черта на конструктивните логически системи и изградените на тяхна основа теории са следните свойства:

дизюнктивно свойство (или дизюнктивно свойство) – ако дизюнкцията е изводима, тогава ние също извличаме някои от нейните дизюнктивни членове;
екзистенциално свойство — ако формулата ∃xA (x) е изведена, тогава формулата A (t) също може да бъде изведена за някакво конкретно ефективно търсено t, тоест от доказателството за съществуването на конструктивен обект с необходимите свойства може да се извлече конструкцията на неговата конструкция.

В допълнение към аксиоматичните системи на конструктивната логика съществуват различни семантични конструкции, които отразяват конструктивни възгледи за значението на логически връзки, формули и т.н. Най-известните са рекурсивната реализируемост според S. K. Kleene и нейните варианти, мажорната семантика на аритметичните формули, разработена от N. A. Shanin, поетапната система за конструиране на логически езици, създадена от A. A. Марков с едновременното определяне на тяхната семантика „отдолу нагоре“.