Математическа индукция
( "n:k£n1)[( "m1. Можете да го направите така.
Валидността на Â се проверява за всички прости числаp.
Доказано е, че ако твърдение Â е валидно за някои естествениm>1, то това твърдение е валидно и за всички числа от форматаm × p, къдетоpе просто.
От това, съгласно теоремата за единствеността на разлагането на естествени числа, по-големи от едно, на прости множители следва, че твърдението В е вярно за всичкиn>1.
Вентилаторна индукция. Разбира се като следния вид индуктивни доказателства.
Нека се изисква да се докаже валидността на някое твърдение Â за всички естествени числаn³k(kе естествено число). Можете да го направите така.
Валидността на Â се проверява за всички естествени числа в диапазона [k,k2 - 1].
Доказано е, че ако твърдението Â е валидно за някои естествениn>k, тогава то е валидно за всички стойностиn × k+r(r=0,1,…,k -1).
Това предполага, че твърдението Â е валидно за всичкиn>k. Този факт може да се докаже чрез проста индукция. И можете да го направите, например, така. Нека проведем индукция върхуs, установявайки валидността на Â за естествени числаnот вида:k s -1 £ns - 1 (s=2,3,…). Заs=2 това е така, което следва от основата на външната индукция. Нека за някаква естествена стойностp ³ sтвърдението В е изпълнено за стойноститеnот диапазона:k p- 1 £np - 1. Тогава индуктивната стъпка на външната индукция предполага валидността на В за всичкиn × k+r(0 £rp £np +1 - 1. Следователно, Â е в сила за всякоnот формата:k s-1 £ns - 1 за всичкиs=2,3,… . Това означава, че Â е валидно за всичкиn³k.
Сега няколко думи за рекурсивната същност на дедуктивния метод на пълната математическа индукция, или по-скоро неговата подкрепа - 5-та аксиома на Пеано. Нека първо се спрем на първия вариант на проста индукция (виж таблица 1).
Проста индукция(първа опция). Нека твърдениетоP(n) бъде доказано за всяко естественоnи по един или друг начин е възможно да се установи валидността на твърденията:P(1) (база на индукция) и ( "n)[P(n) ®P(n+1)] (индукция стъпка). Освен това, въз основа на 5-та аксиома на Пеано в аксиоматиката на аритметиката, заключаваме, чеP(n) е валиден за всяко естественоn. Каква е същността на тази аксиома и къде е рекурсията тук? Въпросът е, че ако основата на индукциятаP(1) се счита за основа на рекурсията, тогава стъпката на индукция „dra ws” уникална траектория на справедливост на преходите) отP(1) към всекиP(n) за фиксирана стойностn:P(1) ®P(2) ® … ®P(n).nдоP(1):P(n) ÞP(n -1) Þ … ÞP(1). 1>k - 1) заkстойности:k=n,n -1,…,2, т.е. докато стигнем до базата на рекурсияP(1 ), което също е основата на индукция. И тогава първоначалната последователност от преходиP(1) ®P(2) ® … ®P(n) може да се разглежда като поредица от отложени изчислениядо получаване наP(n), тоест решаване на първоначалния проблем за всяко фиксираноn.
Така успяхме да установим рекурсивния характер на 5-та аксиома на Пеано и, следователно, първата версия на метода на пълната математическа индукция (проста), основана на нея. Що се отнася до другите видове индукция, тяхната рекурсивна природа е толкова ясна, колкото и току-що дадената. Помислете например за индукцията на спускане.
Индукция на спускане .Нека твърдениетоP(n) е доказано за всяко естественоn, удовлетворяващо условията:k£n£m(kиmса естествени) и по един или друг начин е възможно да се установи валидността на твърденията:P(m) (база на индукция) и ( "n:kn £m)[P(n) ®P(n -1)] (етап на индукция). Ще разгледаме основата на индукцияP(m) като основа на Стъпката на индукция „чертае“ уникална траектория на преходи (изявления за справедливост) отP(m) към всекиP(1):P(m) ®P(m -1) ® … ®P(1). P (m):P(1) ÞP(2) Þ … ÞP(m) И можем да разглеждаме тази връзка като последователно намаляване на задачата за изчисляване (доказване на валидността)P(k -1) до изчисляване наP(k) за стойностиk:k=2, 3,…,m, т.е. докато стигнем до базата на рекурсияP(m). И тогава първоначалната последователност от преходиP(m) ®P(m -1) ® … ®P(1) може да се разглежда като поредица от отложени изчисления до получаване наP(1), т.е.решение на първоначалния проблем.
Какви изводи могат да се направят от проведените дискусии? Те са. Първо, всеки тип индукция дефинира някакъв вид рекурсивен процес, т.е. всъщност дефинира специфична стандартна форма на рекурсивно изчисление. Второ, основите на аритметиката и следователно на цялата математика се основават на рекурсия. Следователно рекурсията може да служи като методологична основа за информатиката и по-специално за алгоритмизирането на обучението.
По отношение на втория ипостас на метода на математическата индукция - да служи като инструмент за доказване на коректността на рекурсивни алгоритми - сега няма да кажем нищо общо. Това ще бъде демонстрирано по-късно върху специфичен проблемен материал, който систематично прониква в това изследване.
За да завършите този раздел, имайте предвид, че използването на индукция в рекурсия често разчита на понятието за частично подредено множество.