Математическа логика Дедуктивна теория
В математическата теориядедуктивната теория е от голямо значение. Терминът дедукция идва от лат. deductio - извеждане. По този начин дедукцията е един от основните начини за разсъждение и изследователски методи.
Дедуктивната теория се счита за дадена, ако:
- Дадена е азбука, тоест набор, и правилата за образуване на изрази в тази азбука.
- Заложени са правила за образуване на формули.
- Отделя се подмножество от теореми, които доказват формулата.
Има няколко начина за конструиране на набор от теореми:
1.Задаване на аксиоми и правила за извод
В набора от формули се отделя подмножество от аксиоми, след което се посочва краен брой правила за извод. Правилото за извод е правило, чрез което нови теореми могат да бъдат извлечени от аксиоми и предишни извлечени теореми. Теоремите включват всички аксиоми. Известни са обаче случаи (например в аксиоматиката на Пеано), когато една теория съдържа безкраен брой аксиоми, определени с помощта на една или повече аксиомни схеми. Такива аксиоми се наричат "скрити определения".
Този начин позволява да се задават формални аксиоматични теории.
2.Задаване само на аксиоми
В този случай правилата за извод се считат за добре известни, така че са дадени само аксиоми. Следователно, с такава конструкция на теореми, те казват, че полуформална аксиоматична теория.
3.Задаване само на правила за извод
Този метод за конструиране на теореми се основава на определяне само на правила за извод, тъй като наборът от аксиоми е празен. Въз основа на това така дефинираната теория е частен случай на формална теория. По-късно тази разновидност започва да се нарича теория на естествения извод.
споренсе нарича теория, в която наборът от теореми обхваща целия набор от формули. Иначе теорията е последователна. Основната и най-трудна задача на формалната логика е да разкрие непоследователността на една теория. Противоречивите теории по правило нямат по-нататъшно практическо и теоретично приложение.
2. Пълнота
Една теория се нарича завършена, ако за всяка формула F може да се извлече или самата F, или нейното отрицание -F. В случай, че една теория съдържа недоказуеми твърдения, тоест твърдения, които не могат нито да бъдат доказани, нито опровергани със средствата на самата теория, тя се нарича непълна.
3. Независимост на аксиомите
Когато определена аксиома на една теория не може да бъде изведена от останалите аксиоми, тогава тя се нарича независима. Зависимата аксиома е излишна, така че нейното извличане от системата от аксиоми не засяга теорията. Една система от аксиоми се нарича независима само ако всяка аксиома в нея е независима.
4. Разрешимост
Когато една теория има ефективен алгоритъм за определяне на броя на стъпките, които доказват теорема, се казва, че теорията е разрешима.
Например пропозиционална логика, логика от първи ред (предикатно смятане), формална аритметика (S теория).