Матрична норма

Нормата на матрицае норма в линейното пространство на матриците, обикновено по някакъв начин свързана със съответната векторна норма (последователна [⇨] или подчинена [⇨] ).

Съдържание

В случай на квадратни матрици (т.е.m=n), матриците могат да се умножават, без да напускат пространството, и следователно нормите в тези пространства обикновено също отговарят насубмултипликативното свойство:

Субмултипликативността може да се извърши и за нормите на неквадратни матрици, но дефинирани за няколко необходими размера наведнъж. А именно, ако A е матрицаℓ×mи B е матрицаm×n, тогаваA Bе матрицаl×n.

При условие, че нормите върху пространствата на векторите са кохерентно специфицирани, такава норма е субмултипликативна (виж по-горе).

Примери за операторски норми

• Матрична норма ‖ A ‖ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m a i j =\max \limits _\sum _^a_> ‖ x ‖ 1 = ∑ i = 1 n x i =\сума _^x_> .
• Матрична норма ‖ A ‖ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n a i j =\max \limits _\sum _^a_> ‖ x ‖ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n x i =\max \limits _x_> .
• Спектрална норма‖ A ‖ 2 = sup ‖ x ‖ 2 = 1 ‖ A x ‖ 2 = sup ( x , x ) = 1 ( A x , A x ) =\sup \limits _=1>\Ax\_=\sup \limits _>> ‖ x ‖ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 =^x_^>>> .

Свойства на спектралната норма:

1. Спектралната норма на оператор е равна на максималната сингулярна стойност на този оператор.
2. Спектралната норма на нормален оператор е равна на абсолютната стойност на максималната модулна собствена стойност на този оператор.
3. Спектралната норма не се променя, когатоумножение на матрица по ортогонална (унитарна) матрица.

Има матрични норми, които не са операторски норми. Концепцията за неоператорни норми на матрици е въведена от Ю. И. Любич [3] и изследвана от Г. Р. Белицки.

Пример за неоператорска норма

Векторна p-норма

Норма на Фробениус

Нормата на ФробениусилиЕвклидовата нормае специален случай на p-норма заp= 2: .

Нормата на Фробениус е лесна за изчисляване (в сравнение например със спектралната норма). Има следните свойства:

• Постоянство
• [⇨] : ‖ A x ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ F ‖ x ‖ 2 \leq \A\_\x\_> , тъй като по силата на неравенството на Коши-Буняковски

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j x j 2 ≤ ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j 2 ∑ j = 1 n x j 2 ) = ∑ j = 1 n x j 2 ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . ^=\sum _^\left\sum _^a_x_\right^\leq \sum _^\left(\sum _^a_^\sum _^x_^\right)=\sum _^x_^\A\_^=\A\_^\x\_^.>

• Субмултипликативно: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F \leq \A\_\B\_> , тъй като ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j ∑ k a i k b k j 2 ≤ ∑ i , j ( ∑ k a i k b k j ) 2 ≤ ∑ i , j ( ∑ k a i k 2 ∑ k b k j 2 ) = ∑ i , k a i k 2 ∑ k , j b k j 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 \_^> .
• ‖ A ‖ F 2 = t r ⁡ A ∗ A = t r ⁡ A A ∗ ^=\mathop > A^A=\mathop > AA^> , където t r ⁡ A>gt; A> е следата на матрицата A , A ∗ > е ермитова спрегната матрица.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 ^=\rho _^+\rho _^+\точки +\rho _^> , където ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n ,\rho _,\точки ,\rho _> са сингулярните стойности на матрицата A .
• ‖ A ‖ F > не се променя, когато матрицата A се умножи отляво или отдясно по ортогонални (унитарни) матрици [5] .

Модул максимум

Максималната модулна норма е друг специален случай на p-нормата заp= ∞.

Норм Шатън

Примери за последователни, но не подчинени матрични норми:

---