Метод на инструменталните променливи
Методът на инструменталните променливи (IP, IV - Instrumental Variables)е метод за оценка на параметрите на регресионни модели, базиран на използването на допълнителни, неучастващи в модела, така нареченитеинструментални променливи. Методът се използва в случаите, когато факторите на регресионния модел не отговарят на екзогенното условие, т.е. те са зависими със случайни грешки. В този случай оценките на най-малките квадрати са пристрастни и непоследователни.
Очевидно методът на инструменталните променливи е формулиран за първи път от Райт (Wright) през 1928 г. като метод за оценка на кривите на търсенето и предлагането. Самият термин "инструментални променливи" е използван за първи път в статия от 1941 г. на Riersol, когато се обсъждат грешките в променливите. По-нататък методът е разработен в трудовете на Дърбин (1954), Сарган (1958) и др.. В контекста на системите от едновременни уравнения, методът е разработен паралелно под името "двуетапен метод на най-малките квадрати (LSM)".
Съдържание
Нека има линеен регресионен модел
Ако факторите и случайните грешки са корелирани, тогава второто условие не е изпълнено и следователно оценките на OLS не са последователни. Тоест, дори при много голям брой наблюдения, оценките може да не се доближат до истинските стойности.
Нека има фактори Z, които не са корелирани със случайни грешки, чийто бройе равен наброя на началните фактори. Тези променливи се наричат инструментални променливи. Сред тях могат да бъдат както "чисто" инструментални променливи (отсъстващи в модела), така и моделни променливи (последните сами по себе си се приемат за екзогенни). Тогава оценката на метода на инструменталните променливи е оценката на следната форма:
Случай на проста регресия
Въпреки последователността, в общия случай оценките на IP са пристрастни и неефективни. Оценките на IP са толкова по-добри, колкото по-силно инструменталните променливи са корелирани с оригиналните фактори на модела (като същевременно остават некорелирани със случайни грешки). Изборът на инструментални променливи е отделен доста сложен проблем. Няма строги препоръки за избора на инструменти.
Може да се покаже, че оценката на IP метода може да се сведе до процедура в две стъпки: първо, обикновените най-малки квадрати трябва да оценят зависимостта на входните фактори от инструментите и да използват получените оценки на факторите вместо самите фактори за оценка на параметрите на оригиналния модел. Това е така нареченият двуетапен MNC.
Като инструментални променливи могат да бъдат избрани OLS оценки на регресията на фактори върху някои други променливи Z, чийто бройне е по-малък отброя на първоначалните фактори. Тоест, на първия етап е необходимо да се оцени регресията X = Z β + u t > конвенционален MNC:
Тогава матрицата на инструменталните променливи в този случай ще бъде равна на
На втория етап прилагаме метода на инструменталните променливи с получените инструменти X ^ >> :
Ако броят на инструментите z съвпада с броя на началните променливи (случайточна идентификация), тогава матриците Z T X , X T Z X,
X^Z> са квадратни. Следователно
b ^ I V = ( X T Z ( Z T Z ) − 1 Z T X ) − 1 X T Z ( Z T Z ) − 1 Z T y = ( Z T X ) − 1 ( Z T Z ) ( X T Z ) − 1 ( X T Z ) ( Z T Z ) − 1 ( Z T y ) = ( Z T X ) − 1 Z T y >_=(X^Z(Z^Z)^Z^ X)^X^Z(Z^Z)^Z^y=(Z^X)^(Z^Z)(X^Z)^(X^Z)(Z^Z)^(Z^y)=(Z^X)^Z^y>
Тоест, получаваме класическата формула за метода на инструменталните променливи. По този начин, въпреки факта, че този метод е получен като специален случай, той все пак може да бъде разгледанобобщение на класическия IP метод. Това е така наречениятобобщен метод на инструменталните променливи (GIVE - Generalized Instrumental Variables Estimator).
Комуникация с две стъпки на най-малките квадрати
Може да се покаже, че ако на втория етап приложим не метода на инструменталните променливи, а обичайния метод на най-малките квадрати, тогава ще получим точно същата формула, тъй като
По този начин обобщеният метод на инструменталните променливи е еквивалентен на двуетапния метод на най-малките квадрати (DMNC, TSLS, 2SLS - Two-Stage Least Squares).