Методи за линеаризация
Методи, които позволяват да се намали решаването на нелинейни проблеми до последователно решаване на свързани линейни проблеми. Нека се разгледа нелинейно операторно уравнение, където операторът L преобразува банаховото пространство H в себе си, L(0)=0, и е диференцируем по Фреше. Един от класическите методи за решаване на (1), свързани с линеаризация (1), е итеративният метод на Нютон-Канторович, при който за известно приближение и n се определя ново приближение и n + 1 като решение на линейно уравнение, основата на метода е приближението (за малки ) чрез израза - производната на Фреше на оператора L в точката и n. Различни модификации на този метод и съответните оценки за скоростта на конвергенция могат да бъдат намерени в [1]-[4]. Самото операторно уравнение (1) може да съответства например на нелинеен граничен проблем за частично диференциално уравнение (вижте [2], [4], [5]), а след това линеен граничен проблем трябва да бъде решен на всяка стъпка в (2), което налага използването на числени методи и известна дискретизация на първоначалния проблем и свързаните линейни проблеми. От изчислителна гледна точка е по-естествено да се разгледат методите за линеаризация след подходяща дискретизация на първоначалния проблем, като се има предвид (1) операторно уравнение в крайномерно пространство. Друг пример за LM за приблизително решение на (1) е методът на итеративния секанс (фалшива позиция) (виж [2], [3]). В много случаи за проблеми (1), които са математически задачи. физиците предпочитат да извършват линеаризация на базата на физич. съображения, замествайки с с линеен оператор (виж [5]-[11]). След това получените итеративни методи се записват във формата. Такива са например методите на еластични решения и променливи параметри за решаване на нелинейни задачи в теорията на еластичността (виж [5]-[8]); в този случай, за метода на еластичните решения, линейниятоператор съответства на оператора на теорията на линейната еластичност. Към тях се присъединяват и итеративният метод на Качанов (виж [9], [10]) и методът на последователните зареждания (виж [6]-[8]), които комбинират идеите за линеаризация и продължение по отношение на параметър. Понякога, вместо методи (3), се използват по-общи итерационни методи от типа с итеративен параметър, който трябва да бъде избран. При прилагането на споменатите методи трябва да се вземе предвид и приближението на решението на системите (например като следствие от използването на спомагателни итеративни методи) (виж например [1], [12], [13]). Когато разглеждаме нелинейни проблеми със собствените стойности (проблеми за намиране на бифуркационни точки), например. Идеята за линеаризация (5), която свежда изследването на проблем (5) до изследване на линеен проблем със собствените стойности, се оказа много плодотворна (виж [14]-[16]). Често една или друга линеаризация се използва и в мрежовите методи за решаване на нестационарни нелинейни задачи (виж например [17] - [21]), извършвани за сметка на известни решения в моменти до tn и даващи линейни уравнения за решение в следващия дискретен момент (t е времевата стъпка). Лит.: [1] Красноселски М. А. [и др.], Приближено решение на операторни уравнения, т. 1, М., 1969; [2] L. Kollatz, Функционален анализ и изчислителна математика, прев. от нем., М., 1969; [3] J. Ortega и W. Reinboldt, Итеративни методи за решаване на нелинейни системи от уравнения с много неизвестни, прев. от англ., М., 1975; [4] Р. Белман и Р. Калаба, Квази-линеаризация и нелинейни гранични проблеми, прев. от англ., М., 1968; [5] Победря Б. Б., в книгата: Еластичност и нееластичност, т. 3, М., 1973, стр. 95-173; [6] J. Oden, Крайни елементи в нелинейната механика на непрекъснатите среди, прев. от англ., М., 1976; [7] О. Зенкевич, Метод на крайните елементи в инженерството, прев. от английски,М., 1975; [8] И. В. Свирски, Методи от типа на Бубнов-Галеркия и последователни приближения, Москва, 1968 г.; [9] С. Г. Михлин, Числена реализация на вариационни методи, М., 1966; [10] Futik S., Kratochvil A., Necas I., „Acta Univ. Corolinae. Math, et Phys.“, 1974, v. 15, № 1-2, с. 31-33; [11] А. А. Амосов, Н. С. Бахвалов, О с и-п и к Ю. И.; "Изчислителна математика и математическа физика", 1980, том 20, № 1, с. 104-11; [12] E i s e n s t a t S. S., S c h u l t z M. N., Sh e r m a n A. N., "Lect. Notes Math.", 1974, № 430, p. 131 - 53; [13] Е. Г. Дяконов, в книгата: Числени методи на механиката на непрекъснатата среда, том 7, № 5, М., 1976, стр. 14-78; [14] И. И. Ворович, в книгата: Проблеми на хидродинамиката и механиката на непрекъснатата среда. По повод шестдесетата годишнина на акад. Под редакцията на Л. И. Седова, М., 1969. [15] M. S. Berger, в: Теория на разклоненията и нелинейни проблеми със собствените стойности, прев. от английски, М., 1974, с. 71-128; [16] И. В. Скрипник, Нелинейни елиптични уравнения от по-висок ред, К. 1973; [17] О. А. Ладыженская, Математически проблеми в динамиката на вискозна несвиваема течност, 2-ро изд., Москва, 1970 г.; [18] Е. Г. Дяконов, Разностни методи за решаване на гранични задачи, в. 2 - Нестационарни задачи, М., 1972; [19] В. Я. Ривкинд и Н. Н. Уралцева, в: Проблеми на математическия анализ, в 3, Л., 1972, с. 69-111; [20] Fairweather G., Методи на Galerkin с крайни елементи за диференциални уравнения, N. Y., 1978. [Led. Нотки чисти и прил. математика, т. 34]; [21] Luskin M., "SIAM J. Число. Анализ", 1979, v. 16, № 2, стр. 284-99. Е. Г. Дяконов.