Методи за последователна оптимизация, платформа за съдържание
Методи за последователна оптимизация
Недостатъците на сгъването на няколко критерия ни принуждават да търсим други подходи за решаване на проблемите на многокритериалния избор. В тази лекция ще разгледаме методите за последователна оптимизация.
Методите за последователна оптимизация включватметода на последователните отстъпкии, като специален случай на този метод,метода на главния критерий,лексикографския критерийиметода на равенството на частичните критерии.
Метод на главния критерий
Има един често използван начин за свеждане на многокритериална задача до еднокритериална - това е да се отдели един (основен, основен) критерий F1 и да се стремим да го превърнем в максимален (минимум), а на останалите F2, F3, . . Fm частични критерии за налагане само на някои ограничения, изискващи те да не са по-малки (по-големи от) някои дадени стойности. По този начин идеята на метода на основния критерий е, че определени критерии обикновено не са равни един на друг (някои от тях са по-важни от други) и това ни позволява да отделим основния критерий и да разглеждаме останалите (критерии) като допълнителни, съпътстващи. Например, при оптимизиране на работния план на предприятието може да се изисква печалбата да бъде максимизирана, асортиментният план да бъде изпълнен или превишен, а себестойността на продукцията да не е по-висока от определената. С този подход всички показатели, с изключение на един - основният, се прехвърлят в категорията на ограниченията. Тази разлика ни позволява да формулираме проблема за многокритериалната оптимизация като проблем за намиране на условния екстремум на основния (основния) критерий:
Методът на последователните отстъпки
Има случаи, когато потребителят е готов за известно намаляване на стойностите на по-важни критерии, за даповишават стойността на по-малко важните. В такива ситуации можете да използватеметода на отстъпките. Идеята зад този метод може да се обобщи по следния начин.
По този начин всяко решение се счита за оптимално, което е решението на последния проблем от следващата последователност от проблеми
1) Намерете F1 min=min F1(X)
2) Намерете F2 min.=min F2(X) (1)
m) Намерете Fm min.=min Fm(X)
Стойностите на отстъпките се избират в границите на инженерна точност, т.е. 5-10% от най-малката стойност на критерия.
Пример. Нека в областта D= са зададени два критерия F1(x)=(x-1)2+1 F2(x)=(x-2)2+2, които трябва да бъдат минимизирани (фиг. 1). Критерий F1 е по-важен от критерий F2 (F1 е за предпочитане пред F2).
Фиг. 1. Графики на функции F1 и F2
1. Според алгоритъма минимизираме първия най-важен критерий и определяме най-малката му стойност F1min.Формулираме оптимизационната задача
намерете min F1(x)= min[x-1)2+1]
Минимумът за първия критерий се достига в точката x1opt=1 и е равен на F1(x1opt)=1
2. След това се задава стойността на концесията D1=0.1 на критерия F1 и се търси най-малката стойност на критерия F2, при условие че стойността на F1 не трябва да бъде по-голяма от F1min+D1. Така имаме следния оптимизационен проблем
За решението използваме метода на множителите на Лагранж. В резултат на това получаваме проблем за безусловна оптимизация
Намираме частни производни и ги приравняваме на нула. В резултат на това получаваме система от уравнения
Решавайки тази система, получаваме x2opt=1,32.
Според алгоритъма решението, получено на последния етап, ще се счита за оптимално, т.е. xopt=1,32.
Нека решим този проблем с помощта на системата MathCad.
f(x):=(x-2)2+2 целева функция
x:=1 първоначално приближение
p:=Минимизиране(f, x) p=1,316.
Депутат Методпоследователни отстъпки трябва да се използват за решаване на онези инженерни проблеми, в които всички определени критерии са подредени по важност и всеки критерий е толкова по-важен от следващия, че е възможно да се ограничим да вземем предвид само връзката по двойки на критериите и да изберем стойността на допустимото намаление на следващия критерий, като вземем предвид поведението само на един от следните критерии.
Както можете да видите, методът на концесиите предполага, че разликата във важността на критериите не е твърде голяма. Може да се предположи, че размерът на отстъпките по някакъв начин е свързан с нашето възприемане на тази разлика.
Противоположният краен случай е ситуацията, в която разликата между подредените критерии е толкова голяма, че следващият критерий в този ред се разглежда само ако сравняваните алтернативи са неразличими от най-високите критерии. За никакви отстъпки в случая не може да става и дума. В тази ситуация изборът доста често завършва на първата стъпка и последният критерий обикновено не достига (по-точно, той е „изобретен“ в онзи изключително рядък екзотичен случай, когато приетите по-рано критерии не са посочили нито една алтернатива). Този избор се наричалексикографско подрежданена алтернативи, тъй като този метод се използва при подреждане на думи в различни речници (предпочитанието се определя от азбучния ранг на следващата буква в дадена дума).
Метод за равенство на частични критерии
Критериите работят на принципа на компромиса, основан на идеята за еднообразие. Въз основа на идеята за единен компромис те се опитват да намерят такива стойности на променливите X, при които нормализираните стойности на всички конкретни критерии стават равни една на друга, т.е.
fi(X)=K, i=1, 2, . . ., m (3)
или в друга форма f1(X)= f2(X)=…=fm(X). .
Като се вземат предвид коефициентите на тежест на важността на определени критерии, изразът (1) може да бъде записан във формата
li fi(X)=K, i=1, 2, . . ., m (4).
Депутат При голям брой частични критерии, поради сложността на връзките, понякога е трудно да се постигне изпълнение на връзките (
Пример. Ние прилагаме метода на равенство на определени критерии за определяне на оптималните параметри на преносим автомат. Тогава ще приемем, че конкретните критерии са еднакво важни
, .
Изразяваме F2 чрез F1. Нека получим или и заместим в уравнението за масата на автомата. Да направим замяна. Ще получим квадратно уравнение 1,6x2+c·x-4=0. Решаваме това уравнение и избираме положителния корен x = 1, 024. Като вземем предвид замяната, получаваме L = 1, 05 м. Така получаваме следните стойности на оптималните параметри: Nopt = 46, Lopt = 1, 05 m, Vopt = 152 m / s (K = 0, 697).