Методически особености на решаване на нестандартни задачи - Методи за решаване на задачи с повишена трудност
Основната цел на задачите е да развият творческото и математическото мислене на учениците, да ги заинтересуват от математиката, да доведат до „откриване“ на математически факти.
Смятам, че е невъзможно да се постигне тази цел с помощта на обикновени стандартни задачи. Опитът от използването на редица нестандартни задачи показва, че за да се формира самостоятелно мислене и да се насърчи творческата активност, е необходимо те да бъдат включени в системата от упражнения и задачи, използвани в класната стая, в извънкласната работа. Решаването на нестандартни задачи причинява най-големи трудности на децата. Нека се спрем на понятието "нестандартна задача".
„Нестандартни задачи са тези, за които няма общи правила и разпоредби в курса на математиката, които да определят точната програма за тяхното решаване“, смята Л. М. Фридман [20]. Все пак трябва да се отбележи, че понятието "нестандартна задача" е относително. Една и съща задача може да бъде стандартна или нестандартна в зависимост от това дали учениците са запознати с начините за решаване на такива задачи.
Нестандартна задача е задача, чийто алгоритъм за решаване е непознат на учениците, т.е. учениците не знаят предварително нито начините за решаването му, нито на какъв учебен материал се базира решението.
Как учителят може да помогне на учениците да решават нестандартни задачи? Няма универсален метод, който да позволява решаването на всеки нестандартен проблем, т.к нестандартните задачи са до известна степен уникални.
Въпреки това в методиката може да се намери описание на опита на учители, които постигат добри резултати в математическото развитие на учениците. Някои методически техники за обучение на учениците как да решават нестандартни проблеми са формирани в книгите на J. Poya "Как да решим проблем," Математическо откритие "; L. I. Fridman и E. N. Turetsky " Как да се научим да решаваме проблем "; Ю. М. Колягин "Научете се да решавате проблем."Помислете за някои методически техники за обучение на учениците да решават нестандартни задачи:
1. На първо място, отбелязваме, че е възможно да се обучават учениците да решават проблеми (включително нестандартни) само ако учениците имат желание да ги решават, т.е. ако задачите са смислени и интересни от гледна точка на ученика. Следователно задачата на учителя е да събуди интереса на учениците към решаването на определен проблем. Необходимо е внимателно да подбираме интересни задачи и да ги правим привлекателни за учениците.
Това могат да бъдат _ задачи _ вицове, задачи _ приказки, стари задачи и т.н. Едно е безспорно: учениците се интересуват най-много от задачи, взети от заобикалящия живот, задачи, свързани с познати неща и опит. Важно е да покажете на децата, че можете да получите същото удоволствие от решаването на математически проблем, както от решаването на кръстословица или ребус.
2. Задачите не трябва да са прекалено лесни, но не и прекалено трудни, т.к учениците, които не решават проблема или не разбират решението, предложено от учителя, могат да загубят вяра в силата си. В този случай е много важно да се спазва мярката за помощ. На първо място, учителят не трябва да запознава учениците с готово решение. Подсказката трябва да е минимална. Л.М. Фридман в книгата си "Как да се научим да решаваме проблеми" пише: "За успешно решаване на нестандартни проблеми е необходимо преди всичко да можете да мислите, да гадаете. Но това не е достатъчно. Разбира се, необходими са както знания, така и опит в решаването на необичайни проблеми; полезно е да имате определени общи подходи за решаване. "
За да помогне на учениците да намерят начин за решаване на проблем, учителят трябва да може да се постави на мястото на решаващия проблем, да се опита да види и разбере източника на възможните му трудности. Умелата помощ на учителя, оставяйки различен дял от самостоятелната работа, ще позволи на учениците разумен дялсамостоятелна работа, ще позволи на учениците да развият математически способности, да придобият опит, който в бъдеще ще помогне да се намери начин за решаване на нови проблеми.
"Най-доброто нещо, което един учител може да направи за ученика, е да му даде брилянтна идея чрез нежна помощ. Добрите идеи имат своя източник в миналия опит и придобитите преди това знания.
Често е подходящо да започнете с въпроса: „Знаете ли за някакъв свързан проблем?“ [10]. По този начин спомагателните задачи са добро средство за учене за решаване на проблеми, средство за намиране на план за решение.
Възможността за подбор на помощни задачи показва, че учениците вече имат опит в решаването на нестандартни задачи. Ако този опит е малък, тогава можете да предложите на учениците помощни задачи. Умело поставените въпроси, спомагателните задачи ще помогнат да се разбере идеята за решението.
Необходимо е да се стремим да гарантираме, че учениците изпитват радостта от решаването на трудна за тях задача.
Нека разгледаме примери за решаване на такива проблеми, за да разберем характеристиките на процеса на тяхното решаване.
1. В три кашона има 300 ябълки. Броят на ябълките в първата кутия е половината от броя на ябълките във втората кутия и една трета от броя на ябълките в третата кутия. Колко ябълки има във всяка кутия?
Решение. Тази задача е текстова. За такива проблеми няма общо правило, което да определя точната програма, тяхното решение не съществува. Това обаче не означава, че изобщо няма насоки за решаване на подобни проблеми. Нека означим броя на ябълките в първата кутия катоx. Тогава имаше 2xябълки във втората кутия, 3xв третата кутия. Следователно, събирайки всички числаx+2x+3x, трябва да получим 300 ябълки. Получаваме уравнениетоx+2x+3x=300.уравнение, намираме:x=50 ябълки, 2x=100 ябълки, 3x=150 ябълки.
И така, в първата кутия имаше 50 ябълки, във втората _ 100 ябълки, в третата _ 150 ябълки. Нека анализираме процеса на даденото решение на проблема. Първо определихме вида на задачата „текстова задача“ и въз основа на това възникна идеята за решение („направете уравнение“).
За да направите това, използвайки общите инструкции и примери за решаване на подобни проблеми, получени в уроците („трябва да обозначите едно от неизвестните с буква, напримерx, и да изразите останалите неизвестни чрезx, след това да направите равенство от получените изрази“), ние съставихме уравнение.
Обърнете внимание, че тези инструкции, които използвахме, не са правила, тъй като те не казват кои от неизвестните да се обозначат сx, как да се изразят останалите неизвестни чрезx, как да се получи желаното равенство и т.н. Всичко това се прави всеки път по свой начин, въз основа на условията на проблема и натрупания опит при решаването на подобни проблеми. Полученото уравнение вече е стандартна задача. Решавайки го, ние решихме първоначалния нестандартен проблем.
Смисълът на решаването на този проблем е, че с помощта на специална техника (съставяне на уравнение) сме свели решението му до решаване на стандартен проблем.
2. В магазин "Цветя" бяха донесени 30 жълти лалета и още толкова червени. Всеки 3 жълти лалета струват 20 рубли, а всеки 2 червени лалета струват 30 рубли. Продавачът събра всички тези лалета заедно и реши да направи букети от 5 лалета и да ги продаде за 50 рубли. Тя изчисли ли правилно?
Решение. Нека намерим цената на всички лалета, ако продавачът не е сложил лалетата заедно (реална стойност) rub. Нека намерим цената на лалетата в случай, че продавачът ги сложи в букети от 5 и започна да продава50 търкайте. (приблизителна цена) rub. Сравняваме реалната и прогнозната цена на лалетата 650 рубли. > 600 rub. Откриваме, че изчислението на продавача е грешно, т.к при сумирането на всички лалета и продажбата им 5 бр. в букети тя губи 50 рубли.
Процесът на решаване на тази нестандартна задача е следният: разделихме тази задача на следните подзадачи:
1) намиране на реалната стойност;
2) намиране на прогнозната цена;
3) сравнение на получените стойности и заключение за изчислението на продавача.
След като решим тези стандартни подзадачи, в крайна сметка решаваме и оригиналния нестандартен проблем. Според Л.М. Fridman [19,20], процесът на решаване на всеки нестандартен проблем се състои в последователното прилагане на две основни операции:
* намаляване (чрез трансформация или преформулиране) на нестандартна задача до друга, еквивалентна на нея, но вече стандартна (метод на моделиране);
* разделяне на нестандартна задача на няколко стандартни помощни подзадачи (метод на разделяне). За да улесним прилагането на методите за разделяне и моделиране, считаме за полезно да изградим спомагателен модел на проблема - диаграма, чертеж, чертеж, графика, графика, таблица.
3. Колко различни незатворени начупени линии могат да се построят с върхове в точки A, B, C, D на фигурата?
Задача 3 всъщност е задача за изброяване на варианти. Целта му е да даде възможност на учениците да придобият известен опит в преброяването на броя на опциите и в изграждането на дърво от опции.
След като обсъди отговорите и решенията на учениците, учителят може да каже нещо подобно: „Имате различни отговори, но никой не може да докаже, че е пробвалвсички възможни случаи. Нека се опитаме да разработим такъв начин на броене, при койтоможете да сте сигурни, че сме прегледали всички възможни варианти. Тогава фразата „изброяване на ... опции“ се появява в такъв контекст, че значението му не е необходимо да се обяснява, особено след като думите, използвани от учениците, вече са познати към този момент от други житейски ситуации.
След това учениците трябва първо да изчислят колко начупени линии могат да бъдат построени с начало в точкатаA. Ние аргументираме следното: от точкаAможете да отидете до точкаBили до точкаCили до точкаD. За да не пропуснете нищо, нека направим рисунка:
Сега нека помислим накъде можем да отидем от точкаB, от точка C, от точка D и т.н. В резултат на разсъжденията получаваме следната фигура.
„И така, виждаме, че е възможно да се конструират 6 полилинии, започващи от точкаA. Как мислите, колко прекъснати линии ще получим, ако направим същата работа с останалите точки? Проверете предположението си у дома” [9].
Тук работата по задачата в класа приключва и учениците се приканват да я довършат у дома: начертайте всички прекъснати линии с начало в точкатаAи, аргументирайки се по подобен начин (като направите една и съща рисунка), изпишете и начертайте всички прекъснати линии с начало в точкитеB,CиD. С напредването на дейността учениците ще забележат, че всяка полилиния се повтаря два пъти, защото напримерABCDиDCBAса една и съща полилиния. Следователно общият брой на различните прекъснати линии няма да се окаже, а наполовина по-малко - 12.
След това учениците са поканени да нарисуват всичките 12 прекъснати линии на лист албум у дома.
Подсказката се съдържа в текста на задачата. Учениците са поканени да прочетат първите две изречения в клас и да помислят върху уликата.
Начертайте отсечка и маркирайте точки върху нея. ОтсечкатаKLе дължината на отсечкатаMN, дължината на отсечкатаNK, дължината на отсечкатаML, 1 дължинасегментMK, 1 дължина на сегментаNL.
5. Решете задачата чрез избор. От 29 кутии някои съдържат 14 кг сладки, а други съдържат 15 кг. Колко от тези и други кутии, ако общата маса на сладкиши в кутии от двата вида е еднаква?
След като внимателно проучихме данните, виждаме, че 14 + 15 = 29. Това означава, че трябва да има 15 кутии, в които по 14 kg, и 14 кутии, в които по 15 kg [1].
6. Пътник във влак, движещ се със скорост 50 км/ч, забелязал, че покрай него минава идващ влак за 10 секунди. Определете дължината на идващия влак, ако скоростта му е 58 km/h.
Какви количества са известни в задачата? Да направим чертеж:
Дължината на влака е разстоянието от началото на предния вагон до края на задния вагон. Какви количества обикновено използваме, за да намерим разстояние?
Как ще решите проблема, ако влакът, в който седи пътникът, стои неподвижен?
1) 50 + 58 = 108 км/ч скоростта, с която насрещният влак е разминал пътника.
2) 108 (км/ч) = (108 1000) : 3600 (м/сек) = 30 (м/сек).
3) 30 10 \u003d 300 (m) - дължината на влака.
Първата задача - намирането на центъра на изрязания кръг чрез огъване, като правило, не създава затруднения.
Ако кръгът не може да бъде огънат, тогава центърът е по-труден за намиране. Тук учениците трябва да бъдат помолени да обмислят кои от свойствата на ъглите и окръжностите, с които са запознати, могат да бъдат използвани в този проблем. Оказва се, че е достатъчно да се построи прав ъгълBAC, където точкитеA,B,Cпринадлежат на окръжността, тогаваBCе диаметърът, а неговата среда е центърът на окръжността.
Тези модели допринасят за развитието на конкретно и абстрактно мислене при децата във връзка един с друг, т.к. моделът на задачата, от една страна, дава възможност на ученика да визуализира конкретно връзката междуколичествата, включени в задачата, а от друга страна, допринася за абстракцията, помага да се отвлече вниманието от детайлите на сюжета, от обектите, описани в текста на задачата [2].
Техниката разглежда няколко метода за решаване на задачи - алгебричен, аритметичен, графичен, практически, метод на отгатване, метод на изброяване. Могат да се използват както за стандартни, така и за нестандартни задачи. Алгебричният метод за решаване на проблеми развива теоретичното мислене, способността за обобщение, формира абстрактно мислене и има такива предимства като краткост на писане и разсъждения при съставяне на уравнения, спестява време. Аритметичният метод на решаване също изисква голямо психическо напрежение, което има положителен ефект върху развитието на умствените способности, математическата интуиция и формирането на способността за предвиждане на реална житейска ситуация. Често има проблеми, които могат да бъдат решени чрез изброяване. В същото време ученикът като че ли експериментира, наблюдава, сравнява факти и въз основа на конкретни заключения прави определени общи заключения. В процеса на тези наблюдения се обогатява неговият реално-практически опит.
Именно това е практическата стойност на задачите с изброяване. В този случай думата "изброяване" се използва в смисъла на анализ на всички възможни случаи, които удовлетворяват условието на проблема, показвайки, че не може да има други решения. Има задачи, при които алгебричният или аритметичният метод не е достатъчно ефективен. В този случай методът на предположението се използва за намиране на решение.
В математиката няма общи правила, които да ви позволяват да решавате всеки нестандартен проблем, т.к такива задачи са до известна степен уникални. Нестандартната задача в повечето случаи се възприема като предизвикателство към интелекта и поражда нуждата от себереализацияпри преодоляване на препятствия [10].