Мултипликативност на функция, конволюция на Дирихле
Пример[редактиране]
Най-простият пример за такава функция е [math] \theta(a)=a^s[/math]
- [math] \theta(1) = 1^s = 1 [/math]
- [math]\theta(ab) = (ab)^s = a^sb^s = \theta(a)\theta(b) [/math]
Свойства на мултипликативните функции[редактиране]
- 1. От дефиницията следва, че [math] \theta(1)=1[/math] .
- Доказателство:Наистина, нека [math] \theta(a_0) \ne 0[/math] , тогава [math] \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0)[/math] .
2. Ако [math] \theta_1(a),\theta_2(a)[/math] са мултипликативни функции, тогава [math] \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) [/math] също е мултипликативна.
Доказателство:[math] \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1[/math] и условията на дефиницията са изпълнени.3. Нека [math] \theta(a) [/math] е мултипликативна функция и [math] a = ^ ^ \ldots ^[/math] е каноничното разширение на числотоa, тогава обозначавайки със символа [math] \sum_[/math] сумата, разширена към всички делителиdна числотоa, имаме [math]\sum _ \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^))[/math] (в случай на [math] a=1 [/math] считаме, че дясната страна е равна на едно)
Доказателство:За да докажете това свойство, разгледайте дясната страна на самоличността. Той ще съдържа сумата от термини във формата: [math] \theta(p_1^)\theta(p_2^)\ldots\theta(p_k^) = \theta(p_1^ p_2^ \ldots p_k^)[/math] и нито един такъв член няма да бъде пропуснат и нито един няма да се повтори повече от веднъж, и това е точно това, което е от лявата страна.
Свойство.[math] (f*g) [/math] -мултипликативно.Доказателство за свойство:[math] (m;n)=1 \text <,>(f*g)(mn) = \sum_ f(d)g(\frac) = \sum_ f(d_1 d_2)g(\frac) = [/math] [math] = \sum_ f(d_1) f(d_2)g(\frac) g(\frac) = (\sum_ f(d_1)g(\frac))*(\sum_ f(d_2)g(\ frac)) [/math] ch.etc.