Намерете максималната точка на функцията y x^3–5x^2 7x–5
Време е да разгледаме степенните функции в този раздел. В блога вече има представени задачи за намиране на максимални и минимални точки на различни функции, а именно: функции с числото e, с логаритми, тригонометрични, рационални.
Алгоритъмът за намиране на тези точки вече е обсъждан повече от веднъж, ще повторя накратко:
1. Намерете производната на функцията.
2. Намерете нулите на производната (приравняваме производната на нула и решаваме уравнението).
3. След това изграждаме цифрова ос, маркираме върху нея намерените точки и определяме знаците на производната на получените интервали. *Това става чрез заместване на произволни стойности от интервалите в производната.
4. След това правим заключение.
Ако не сте напълно запознати със свойствата на производната за изследване на функциите, тогава не забравяйте да проучите статията „Изследването на функциите. Трябва да знаеш! ". Също така повторете таблицата с производни и правилата за диференциране (достъпни в същата статия). Помислете за задачите:
77431. Намерете максималната точка на функцията y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5.
Нека намерим производната на функцията:
Нека намерим нулите на производната:
3x 2 - 10x + 7 = 0
Решавайки квадратното уравнение, получаваме:
*Това са възможните максимални (минимални) точки на функцията.
Определяме знаците на производната на функцията върху интервалите и ги отбелязваме на скицата. Заменяме произволна стойност от всеки интервал в производния израз:
y(0) ' = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
y(2) ' = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1
y(3) ' = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
В точката x = 1 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.
77432. Намерете минималната точка на функцията y \u003d x 3 + 5x 2 + 7x–5.
Да намеримпроизводна на функция:
Нека намерим нулите на производната:
3x 2 + 10x + 7 = 0
Решавайки квадратното уравнение, получаваме:
Определяме знаците на производната на функцията върху интервалите и ги отбелязваме на скицата. Заменяме произволна стойност от всеки интервал в производния израз:
y( –3 ) ' = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0
y( –2 ) '= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1
y(0) '= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
В точката x \u003d -1 производната променя знака си от отрицателен на положителен, което означава, че това е желаната минимална точка.
77435. Намерете максималната точка на функцията y \u003d 7 + 12x - x 3
Нека намерим производната на функцията:
Нека намерим нулите на производната:
Решавайки уравнението, получаваме:
*Това са възможните максимални (минимални) точки на функцията.
Определяме знаците на производната на функцията върху интервалите и ги отбелязваме на скицата. Заменяме произволна стойност от всеки интервал в производния израз:
y( –3 ) '= 12 – 3∙(–3) 2 = –15
y(0) '= 12 - 3∙0 2 = 12 > 0
y( 3 ) '= 12 – 3∙3 2 = –15
В точката x = 2 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.
*За същата функция минималната точка е точката x = - 2.
77439. Намерете максималната точка на функцията y \u003d 9x 2 - x 3.
Нека намерим производната на функцията:
Нека намерим нулите на производната:
Решавайки уравнението, получаваме:
Определяме знаците на производната на функцията върху интервалите и ги отбелязваме на скицата. Заменяме произволна стойност от всеки интервал в производния израз:
y( –1 ) '= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21
y(1) '= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
y(7) '= 18∙7 –3∙7 2 = –1
В точката x = 6 производната променя знака си от положителен наотрицателна, така че това е желаната максимална точка.
*За същата функция минималната точка е x = 0.
77443. Намерете максималната точка на функцията y \u003d (x 3 / 3) -9x -7.
Нека намерим производната на функцията:
Нека намерим нулите на производната:
Решавайки уравнението, получаваме:
Определяме знаците на производната на функцията върху интервалите и ги отбелязваме на скицата. Заменяме произволна стойност от всеки интервал в производния израз:
y( –4 ) '= (–4) 2 – 9 > 0
В точката x \u003d - 3 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.
*За същата функция минималната точка е x = 3.
77443. Намерете максималната точка на функцията y \u003d 5 + 9x - (x 3 / 3).
Нека намерим производната на функцията:
Нека намерим нулите на производната:
Решавайки уравнението, получаваме:
Определяме знаците на производната на функцията върху интервалите и ги отбелязваме на скицата. Заменяме произволна стойност от всеки интервал в производния израз:
В точката x = 3 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.
*За същата функция минималната точка е точката x = - 3.
77419. Намерете максималната точка на функцията y \u003d x 3 - 48x + 17. Решение .
77423. Намерете максималната точка на функцията y \u003d x 3 -3x 2 +2. Решение .
77427. Намерете максималната точка на функцията y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3. Решение .