Нелинейна регресия
Ако съществуват нелинейни зависимости между икономическите явления, тогава те се изразяват с помощта на съответните нелинейни функции.Има два класа нелинейни регресии:
- регресии, които са нелинейни по отношение на обяснителните променливи, включени в анализа, но линейни по отношение на оценените параметри;
- регресии, които са нелинейни по отношение на оценяваните параметри.
Следните функции могат да служат като пример за нелинейна регресия върху обяснителните променливи, включени в нея:
- полиноми от различна степен - , , … (анализ на разходите от обема на продукцията);
- равностранна хипербола - (връзката между производството и средните постоянни разходи, между дохода и търсенето на стоки, между нивото на безработица и процентното изменение на заплатите).
Нелинейните регресии по оценени параметри включват следните функции:
- мощност - (зависимост между разходи и печалба);
- експоненциална - (производствена функция на Коб-Дъглас);
- експоненциален - (когато се анализират промените в променлива с постоянен темп на нарастване).
Нелинейните регресии на включените променливи позволяват използването на най-малките квадрати за оценка на параметрите, тъй като тези функции са линейни в параметрите.
Помислете за парабола. Нека въведем замяна: . Получаваме: - уравнение на множествена линейна регресия. Парабола от 2-ра степен е подходяща за използване. Ако за определен интервал от стойности на фактора естеството на връзката на характеристиките се промени: пряка връзка се променя на обратна или обратно. Крива, за която b>gt; 0, c 0 - зависимостта на производствените разходи от обема на продукцията. Често може да се използва само сегмент от парабола.
Полиноми от произволна степен се линеаризират по подобен начин. Ограниченията при използването на полиноми от по-високи степени са свързани с изискванетохомогенност на изследваната популация: колкото по-висок е порядъкът на полинома, толкова повече завои има кривата и съответно популацията е по-малко хомогенна по отношение на резултантния знак.
Равностранна хипербола може да се използва за характеризиране на връзката между специфичните разходи за суровини, материали, гориво и обема на продукцията, времето на обръщение на стоките от стойността на оборота. Класически пример е кривата на Филипс, която характеризира връзката между нивото на безработицаxи процентното увеличение на заплататаy. След смяна
z= 1/xполучаваме - сдвоено уравнение на линейна регресия. За b > 0 - крива на Филипс, с b < 0, кривата на Engel, която характеризира връзката между дела на разходите за дълготрайни стоки и общите разходи (или доходи).
Други нелинейни по променливи функции се линеаризират по подобен начин.
Забележка.Ако връзката междуxиyе нелинейна и е представена като линейна връзка, тогава:
- според графиката на регресионното уравнение (за парна баня) и точките на корелационното поле е възможно да се определи необходимостта от нелинейно описание на зависимостта;
- в случай на множествена регресия можете да анализирате остатъците от регресията. Обикновено те трябва да редуват "+" и "-", големи и малки. При нелинейна връзка няма произволно редуване на остатъци.
Класът функции, които са нелинейни по параметри, от своя страна е разделен на два типа:
- нелинейните модели са вътрешно линейни;
- нелинейните модели са вътрешно нелинейни.
Вътрешно линейните модели могат да бъдат редуцирани до линейна форма.
1) - е вътрешно линеен, тъй като - е линеен по параметри;
2) - вътрешно нелинейни;
3) - вътрешно нелинейни;
4) е вътрешно линеен, тъй като ;
5) - вътрешное линеен, защото ;
5) - логистична функция - вътрешно линейна -
; ; .
Забележка:за да получите адитивен случаен член в регресионното уравнение, е необходимо да имате мултипликативен случаен компонент в оригиналния модел. За да бъдат приложими t- и F-тестовете, е необходимо трансформираният случаен член да има нормално разпределение, т.е. оригинално - логнормално разпределение
().
Вътрешно нелинейните модели не могат да бъдат редуцирани до линейна форма и се използват итеративни процедури за оценка на техните параметри.
Итеративните процедури използват принципа на минимизиране на сумата от квадратни остатъци и включват следните стъпки:
1. Приемат се някои правдоподобни стойности на параметрите.
2. Изчислено от действителното x.
3. И са решени.
4. Правят се малки промени в оценките на параметрите.
5. Изчислете нови , , .
6. Ако < S, новите оценки са по-добри и трябва да се използват като нова отправна точка.
7. Стъпки 4, 5, 6 се повтарят, докато стане невъзможно да се направят промени, които намаляват S.
8. Прави се извод за минимизиране на S, като последните оценки се приемат за оценки на параметрите.
Недостатъкът е бавната оценка, но наскоро бяха разработени различни математически процедури за бързо намиране на приемливо изисквано решение.