Неопределен интеграл

Определение 1: Ако функцията F(x) е антипроизводна на функцията f(x), тогава наборът от функции F(x)+C, където C е произволна константа, се нарича неопределен интеграл на функцията f(x) и се обозначава със символа В този случай функцията f(x) се нарича интегранд, f(x)dx е интегрант, а променливата x е променлива на интегриране. По този начин символът обозначава съвкупността от всички антипроизводни за функцията f(x).

Възстановяването на функция от нейната производна или, което е същото, намирането на неопределен интеграл по даден интегранд се нарича интегриране на тази функция. Интеграцията е обратното на диференциацията. За да проверите дали интегрирането е правилно, е достатъчно да диференцирате резултата и да получите подинтегралната функция.

Във връзка с понятието първоизводна възниква въпросът: за кои функции има първоизводни (и следователно неопределени интеграли). Доказано е, че всяка непрекъсната функция на сегмент има антипроизводна на този сегмент (следователно неопределен интеграл). По-нататък ще приемем, че всички функции под знака на интеграла са непрекъснати и формулата има смисъл. В случай на прекъсната функция ще разгледаме нейното интегриране само в тези интервали, в които е непрекъсната. Геометрично неопределеният интеграл е набор (семейство) от криви, които са графики на първоизводни y=F(x)+C. Ако y=F(x) е някаква крива, то всички останали криви се получават от нея чрез паралелно изместване по оста Oy.

---