Нормализация в непрекъснатия спектър
Нормализация в непрекъснатия спектър - раздел Механика, Нормализация в непрекъснатия спектър И така, класическото крайно движение съответства на квантовата механика.
И така, в квантовата механика класическото ограничено движение съответства на състояния с нормализирани вълнови функции, които могат да бъдат нормализирани до 1, а енергийният спектър е дискретен. Класическото безкрайно движение съответства на състояния с обобщени вълнови функции, които не могат да бъдат нормализирани, а енергийният спектър е непрекъснат.
Възниква проблемът за нормализиране на вълновите функции на непрекъснатия спектър. Преди това ги нормализирахме и обикновено го правим към делта функцията. Този подход обаче е по-скоро формален. В действителност всъщност спектърът винаги е дискретен, тъй като размерът на областта за локализиране на частиците е ограничен поне от стените на лабораторията. Вярно, често се случваL>>l, къдетоLса размерите на лабораторията, аlса размерите на физическата система. Влиянието на стените се оказва незначително, а енергийните нива са толкова близко разположени, че спектърът не може да бъде разграничен от непрекъснатия спектър. Наистина, в предишния проблем стойносттаL2 беше включена в знаменателяEnи колкото по-голяма е тя, толкова по-дебел е спектърът.
Но реалната физическа ситуация оправдава така наречената "нормализация в кутията", когато се счита, че частицата е в ограничена област, макар и голяма в сравнение със собствените си размери. И така, цялото пространство е разделено на кутии и частицата е поставена в една от тях. Тъй като кутията е голяма, влиянието на стените е малко и към тях могат да се поставят всякакви допълнителни условия - условията на Бор-Карман - условията на периодичност: изисква се вълновата частица да се повтаря във всяка кутия. В едномерния случай това се записва като
От такивавълнова функция и се изисква това
=1
Да разгледаме като пример новоосвободена частица с уравнението на Шрьодингер
-i 2 /2m ×y RR =Ey
с вълнови функции
y(x) =Aei/ ipx;E=p2 /2m, ,
(инерцията е строго определена). Налагаме условието за периодичност:
ei/ ipL= 1 ÞpL/I = 2pn,nнZ.
Получаваме дискретна серия от стойности за импулс и за енергия:
За големиLспектърът се оказва практически непрекъснат и нормализационната константа
A=
Това се получава по същия начин, както в проблема с частица в кладенец, където нормализационната константа е точно равна на
A=
(сега няма две, защото граничните условия са малко по-различни - не нула, а периодични).