Нормализирана асоциативна алгебра
Нормирана асоциативна алгебрае асоциативна алгебра върху поле от реални или комплексни числа, което е нормирано пространство, където нормата удовлетворява условиетосубмултипликативност:
∀ x , y : ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ .
По-общо, нормирана асоциативна алгебра може да бъде дефинирана върху всяко нормирано поле. В старите книги нормираните асоциативни алгебри могат да се наричат нормирани пръстени.
Понякога се дава условие, което отслабва условието за субмултипликативност чрез константа:
0\ \за всички x,y:\x\,y\\ \leq C\x\\,\y\>"> ∃ C > 0 ∀ x , y : ‖ x y ‖ ≤ C ‖ x ‖ ‖ y ‖ 0\ \за всички x,y:\x\,y\\ \leq C\x\\ ,\y\ > 0\ \за всички x,y:\x\,y\\ \leq C\x\\,\y\>"> .
По същество не разрешава нищо ново, тъй като акоC= 0, тогава алгебрата е тривиална и акоC> 0 , тогава след умножаване на нормата по C, новата (еквивалентна) норма ще бъде субмултипликативна без константа.
Всяка банахова алгебра по дефиниция е метрично пълна нормирана асоциативна алгебра.
Алгебрата на ограничените линейни оператори в нормирано пространство (не непременно банахово) също е нормирана асоциативна алгебра.
Нормираната асоциативна алгебра е топологичен пръстен.
Метричното завършване на нормирана асоциативна алгебра е банахова алгебра.