Оптимизация на базата на теорията на бинарните отношения

В практиката на вземане на решения важен проблем е изборът между решения, вече генерирани от специалисти в определена област. Множеството от генерирани решенияXще се наричанабор за избор, а неговите елементиxiалтернативиилиопции.По правило това множество е ограничено:

Един от подходите за решаване на проблема с избора е използването на мненията на специалисти - експерти.

В тази тема ще разгледаме следния механизъм за избор: ще предложим на експерта да сравни алтернативи по двойки. Математически това се свежда до изграждане на някаква двоична връзка (BR) между алтернативите в набора за избор.

Какви свойства трябва да притежава двоичната релация (BR), изградена от експерти, за да може да помогне на вземащия решение да направи информиран избор? За да отговорим на този въпрос, припомняме основните свойства, които са полезни за обосноваване на избора.

симетрично, ако,

антисиметричен ако,

асиметричен ако .

Строга връзка на подреждане

Минималното изискване за избор на BO е асиметрия. Този BO се нарича строга релация на подреждане. Стриктното подреждане е асиметрично и антирефлексивно.

Тази връзка все още не може да осигури качествен избор, например тя не е пълна и не е дори слабо пълна. Последното означава, че някои двойки не са били включени в BO и експертът не е могъл да ги сравни.

Това може да има 3 причини:

той смята, че са неразличими,

той не е сигурен, че една от алтернативите е по-добра от другата,

смята ги за несравними.

Двойките, които не попадат в асиметрична връзка, също определят BO. Такова отношение се наричабезразличиеилиотношениетолерантност.

където Р е строго подреденото отношение, I е индуцираното от него толерантно отношение.

Комбинирайки двойките P и I, получаваме нестрогата връзка на подреждане:

тя е поне слабо пълна.

Свойства на връзката на толерантност.

Отношението

, което включва онези и само онези двойки от множеството X, които не попадат в отношението R, се наричат допълнителни по отношение наR:

Отношението

, допълващо обратното, се нарича двойствено по отношение на R:

Отношението на строго подреждане P и нестрого подреждане R образуват двойна двойка: .

Слаби и силни поръчки

Целесъобразно е към изискването за асиметрия да се добави едно от следните свойства: отрицателност или транзитивност.

Преходност:

Отрицателна преходност:

Слаб ред- асиметрична отрицателно-транзитивна релация или строго подредена и отрицателно-транзитивна релация (пример: x>y).

Както и за строг ред, можем да въведем отношение на безразличие за слаб ред:

Отношението на безразличие за стриктно подреждане беше рефлексивно и симетрично. Новото отношение на безразличие, въведено за слабия ред, също е транзитивно.

Релацията

е транзитивна.

е рефлексивен, симетричен, транзитивен и следователно е релация на еквивалентност. Това означава, че според основното свойство на релацията на еквивалентност, множеството от алтернативиXе разделено на взаимно непресичащи се класове на еквивалентност, които в този случай са класове от взаимно толерантни елементи.